Номер 54, страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

54. Отец с сыном Маратом спускались по эскалатору метро. Марат заметил, что если они будут стоять на ступеньках движущегося эскалатора, то спустятся вниз за 56 с, а если будут идти по неподвижному эскалатору, то спустятся за 42 с.

1) Во сколько раз скорость движущегося эскалатора меньше скорости движения отца и сына, идущих по неподвижному эскалатору?

2) За сколько секунд отец и сын спустятся вниз, если они будут идти по движущемуся эскалатору со скоростью, с которой они шли по неподвижному эскалатору?

3) Какой должна быть скорость Марата, если он желает подняться вверх за 56 с, при этом эскалатор движется вниз?

Метро Алматы

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $L$ — длина эскалатора.
• $v_э$ — скорость эскалатора.
• $v_л$ — скорость отца и сына (людей) при ходьбе по эскалатору.
• $t_1 = 56$ с — время спуска, стоя на движущемся эскалаторе.
• $t_2 = 42$ с — время спуска, идя по неподвижному эскалатору.

Из условия задачи мы можем выразить скорости:

Когда отец и сын стоят на эскалаторе, их скорость равна скорости эскалатора. Пройденный путь $L = v_э \cdot t_1$, откуда $v_э = \frac{L}{t_1} = \frac{L}{56}$.

Когда они идут по неподвижному эскалатору, их скорость равна их собственной скорости ходьбы. Пройденный путь $L = v_л \cdot t_2$, откуда $v_л = \frac{L}{t_2} = \frac{L}{42}$.

1) Во сколько раз скорость движущегося эскалатора меньше скорости движения отца и сына, идущих по неподвижному эскалатору?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо найти отношение скорости людей к скорости эскалатора. Поскольку $t_2 < t_1$ (42 с < 56 с), то скорость людей $v_л$ больше скорости эскалатора $v_э$.

Найдем это отношение:

$\frac{v_л}{v_э} = \frac{L/42}{L/56} = \frac{56}{42} = \frac{14 \cdot 4}{14 \cdot 3} = \frac{4}{3}$

Это означает, что скорость людей в $\frac{4}{3}$ раза больше скорости эскалатора, или, как спрашивается в задаче, скорость эскалатора в $\frac{4}{3}$ раза меньше скорости людей.

Ответ: в $\frac{4}{3}$ раза (или приблизительно в 1,33 раза).

2) За сколько секунд отец и сын спустятся вниз, если они будут идти по движущемуся эскалатору со скоростью, с которой они шли по неподвижному эскалатору?

Когда отец и сын идут по движущемуся эскалатору в направлении его движения (вниз), их скорости складываются. Их общая скорость относительно земли будет $v_{общ} = v_л + v_э$.

Подставим выражения для скоростей:

$v_{общ} = \frac{L}{42} + \frac{L}{56} = L \cdot (\frac{1}{42} + \frac{1}{56})$

Для сложения дробей найдем общий знаменатель. Наименьшее общее кратное для 42 и 56 равно 168 ($42 = 3 \cdot 14$, $56 = 4 \cdot 14$, НОК = $3 \cdot 4 \cdot 14 = 168$).

$\frac{1}{42} + \frac{1}{56} = \frac{4}{168} + \frac{3}{168} = \frac{7}{168} = \frac{1}{24}$

Таким образом, общая скорость $v_{общ} = \frac{L}{24}$.

Время, необходимое для спуска, найдем по формуле $t_{общ} = \frac{L}{v_{общ}}$:

$t_{общ} = \frac{L}{L/24} = 24$ с.

Ответ: за 24 секунды.

3) Какой должна быть скорость Марата, если он желает подняться вверх за 56 с, при этом эскалатор движется вниз?

Марат хочет подняться по эскалатору, который движется вниз. Его собственная скорость $v_м$ должна быть направлена вверх, против движения эскалатора. Чтобы он мог двигаться вверх, его скорость должна быть больше скорости эскалатора ($v_м > v_э$).

Результирующая скорость Марата относительно земли будет равна разности скоростей: $v_{рез} = v_м - v_э$.

По условию, Марат должен преодолеть расстояние $L$ за время $t_3 = 56$ с. Значит, его результирующая скорость должна быть:

$v_{рез} = \frac{L}{t_3} = \frac{L}{56}$

Из первого пункта мы знаем, что скорость эскалатора $v_э = \frac{L}{56}$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для скоростей:

$v_м - v_э = v_{рез}$

$v_м - v_э = v_э$

Отсюда находим скорость Марата $v_м$:

$v_м = 2 \cdot v_э$

Это означает, что скорость Марата должна быть вдвое больше скорости эскалатора. Мы также можем выразить эту скорость через первоначальную скорость ходьбы $v_л = \frac{L}{42}$. Так как $v_э = \frac{3}{4}v_л$, то $v_м = 2 \cdot (\frac{3}{4}v_л) = \frac{3}{2}v_л$. То есть, Марату нужно идти в 1,5 раза быстрее.

Ответ: Скорость Марата должна быть вдвое больше скорости эскалатора.