Номер 50, страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

50. Докажите тождество:

1) $\frac{\operatorname{tg}\left(\frac{3 \pi}{2}-4 \alpha\right) \cdot \sin (4 \pi-2 \alpha) \cdot \cos (-2 \alpha)}{\operatorname{ctg}(-4 \alpha) \cdot\left(\cos ^{2} 2 \alpha-\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{2}-2 \alpha\right)\right)}=\frac{1}{2} \operatorname{tg} 4 \alpha;$

2) $\frac{\sin \alpha+\sin 3 \alpha+\sin 5 \alpha}{\cos \alpha+\cos 3 \alpha+\cos 5 \alpha}=\operatorname{tg} 3 \alpha;$

3) $\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta+(\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha+\beta)-1=0;$

4) $\frac{\sin (\alpha+\beta)+\sin (\alpha-\beta)}{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)}=\operatorname{tg} \alpha;$

5) $(\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta) \cdot \operatorname{ctg}(\alpha-\beta)-\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{tg} \beta=1;$

6) $\frac{\sin \alpha-2 \cos 3 \alpha-\sin 5 \alpha}{\cos \alpha+2 \sin 3 \alpha-\cos 5 \alpha}=-\operatorname{ctg} 3 \alpha;$

7) $\frac{\sin 9 \alpha+\sin 8 \alpha-\sin 7 \alpha-\sin 6 \alpha}{\cos 6 \alpha+\cos 7 \alpha+\cos 8 \alpha+\cos 9 \alpha}=\operatorname{tg} \alpha;$

8) $\frac{2 \cos \beta+\cos 3 \beta+\cos 5 \beta}{\sin \beta+\sin 2 \beta+\cos 3 \beta}=4 \cos 2 \beta.$

1) Преобразуем левую часть равенства, используя формулы приведения и тригонометрические тождества.В числителе:$ \text{tg}(\frac{3\pi}{2} - 4\alpha) = \text{ctg}(4\alpha) $.$ \sin(4\pi - 2\alpha) = \sin(-2\alpha) = -\sin(2\alpha) $.$ \cos(-2\alpha) = \cos(2\alpha) $.Произведение в числителе: $ \text{ctg}(4\alpha) \cdot (-\sin(2\alpha)) \cdot \cos(2\alpha) = -\text{ctg}(4\alpha) \sin(2\alpha) \cos(2\alpha) $.В знаменателе:$ \text{ctg}(-4\alpha) = -\text{ctg}(4\alpha) $.$ \cos^2(\frac{\pi}{2} - 2\alpha) = \sin^2(2\alpha) $, поэтому выражение в скобках равно $ \cos^2 2\alpha - \sin^2 2\alpha = \cos(4\alpha) $.Весь знаменатель: $ -\text{ctg}(4\alpha) \cos(4\alpha) $.Теперь разделим числитель на знаменатель:$ \frac{-\text{ctg}(4\alpha) \sin(2\alpha) \cos(2\alpha)}{-\text{ctg}(4\alpha) \cos(4\alpha)} = \frac{\sin(2\alpha) \cos(2\alpha)}{\cos(4\alpha)} $.Применим формулу синуса двойного угла $ \sin(4\alpha) = 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) $, откуда $ \sin(2\alpha)\cos(2\alpha) = \frac{1}{2}\sin(4\alpha) $.Получаем: $ \frac{\frac{1}{2}\sin(4\alpha)}{\cos(4\alpha)} = \frac{1}{2}\text{tg}(4\alpha) $.Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть. Сгруппируем первое и третье слагаемые в числителе и знаменателе и применим формулы суммы синусов и косинусов.Числитель: $ (\sin\alpha + \sin5\alpha) + \sin3\alpha = 2\sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} + \sin3\alpha = 2\sin3\alpha\cos2\alpha + \sin3\alpha = \sin3\alpha(2\cos2\alpha + 1) $.Знаменатель: $ (\cos\alpha + \cos5\alpha) + \cos3\alpha = 2\cos\frac{\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-\alpha}{2} + \cos3\alpha = 2\cos3\alpha\cos2\alpha + \cos3\alpha = \cos3\alpha(2\cos2\alpha + 1) $.Дробь равна: $ \frac{\sin3\alpha(2\cos2\alpha + 1)}{\cos3\alpha(2\cos2\alpha + 1)} = \frac{\sin3\alpha}{\cos3\alpha} = \text{tg}3\alpha $.Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть. Используем формулу котангенса суммы: $ \text{ctg}(\alpha+\beta) = \frac{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta} $.Подставляем в выражение:$ \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta + (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta) \cdot \frac{1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta} - 1 $.Сокращая $ (\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta) $, получаем:$ \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta + (1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta) - 1 = \text{tg}\alpha \text{tg}\beta + 1 - \text{tg}\alpha \text{tg}\beta - 1 = 0 $.Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Преобразуем левую часть, используя формулы суммы синусов и суммы косинусов.Числитель: $ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = 2\sin\alpha\cos\beta $.Знаменатель: $ \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) = 2\cos\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = 2\cos\alpha\cos\beta $.Дробь равна: $ \frac{2\sin\alpha\cos\beta}{2\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha $.Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

5) Преобразуем левую часть. Используем формулу котангенса разности: $ \text{ctg}(\alpha-\beta) = \frac{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta} $.Подставляем в выражение:$ (\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta) \cdot \frac{1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta}{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta} - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta $.Сокращая $ (\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta) $, получаем:$ (1 + \text{tg}\alpha \text{tg}\beta) - \text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta = 1 $.Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

6) Преобразуем левую часть. Сгруппируем слагаемые и применим формулы преобразования разности в произведение.Числитель: $ (\sin\alpha - \sin5\alpha) - 2\cos3\alpha = 2\sin\frac{\alpha-5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha+5\alpha}{2} - 2\cos3\alpha = 2\sin(-2\alpha)\cos3\alpha - 2\cos3\alpha = -2\sin2\alpha\cos3\alpha - 2\cos3\alpha = -2\cos3\alpha(\sin2\alpha + 1) $.Знаменатель: $ (\cos\alpha - \cos5\alpha) + 2\sin3\alpha = -2\sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-5\alpha}{2} + 2\sin3\alpha = -2\sin3\alpha\sin(-2\alpha) + 2\sin3\alpha = 2\sin3\alpha\sin2\alpha + 2\sin3\alpha = 2\sin3\alpha(\sin2\alpha + 1) $.Дробь равна: $ \frac{-2\cos3\alpha(\sin2\alpha + 1)}{2\sin3\alpha(\sin2\alpha + 1)} = -\frac{\cos3\alpha}{\sin3\alpha} = -\text{ctg}3\alpha $.Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

7) Преобразуем левую часть. Сгруппируем слагаемые в числителе и знаменателе и применим формулы преобразования суммы и разности в произведение.Числитель: $ (\sin9\alpha - \sin7\alpha) + (\sin8\alpha - \sin6\alpha) = 2\sin\frac{9\alpha-7\alpha}{2}\cos\frac{9\alpha+7\alpha}{2} + 2\sin\frac{8\alpha-6\alpha}{2}\cos\frac{8\alpha+6\alpha}{2} = 2\sin\alpha\cos8\alpha + 2\sin\alpha\cos7\alpha = 2\sin\alpha(\cos8\alpha + \cos7\alpha) $.Знаменатель: $ (\cos9\alpha + \cos7\alpha) + (\cos8\alpha + \cos6\alpha) = 2\cos\frac{9\alpha+7\alpha}{2}\cos\frac{9\alpha-7\alpha}{2} + 2\cos\frac{8\alpha+6\alpha}{2}\cos\frac{8\alpha-6\alpha}{2} = 2\cos8\alpha\cos\alpha + 2\cos7\alpha\cos\alpha = 2\cos\alpha(\cos8\alpha + \cos7\alpha) $.Дробь равна: $ \frac{2\sin\alpha(\cos8\alpha + \cos7\alpha)}{2\cos\alpha(\cos8\alpha + \cos7\alpha)} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\alpha $.Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

8) Преобразуем левую часть тождества.Числитель: $ 2\cos\beta + (\cos3\beta + \cos5\beta) = 2\cos\beta + 2\cos\frac{3\beta+5\beta}{2}\cos\frac{5\beta-3\beta}{2} = 2\cos\beta + 2\cos4\beta\cos\beta = 2\cos\beta(1 + \cos4\beta) $.Используя формулу $ 1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x) $, получаем $ 1 + \cos4\beta = 2\cos^2(2\beta) $.Числитель равен $ 2\cos\beta \cdot 2\cos^2(2\beta) = 4\cos\beta\cos^2(2\beta) $.Знаменатель: $ \sin\beta \cdot \sin2\beta + \cos3\beta $. Используем формулу косинуса суммы $ \cos3\beta = \cos(2\beta+\beta) = \cos2\beta\cos\beta - \sin2\beta\sin\beta $.Знаменатель равен $ \sin\beta\sin2\beta + \cos2\beta\cos\beta - \sin2\beta\sin\beta = \cos2\beta\cos\beta $.Дробь равна: $ \frac{4\cos\beta\cos^2(2\beta)}{\cos2\beta\cos\beta} = 4\cos2\beta $.Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.