Номер 49, страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

49. Упростите выражение:

1) $2\operatorname{tg}9\alpha \cdot \operatorname{ctg}(\pi - 9\alpha) + \sin^2 \frac{\alpha}{3} \cdot \operatorname{ctg}^2 \frac{\alpha}{3} + \sin^2 \frac{\alpha}{3};$

2) $2 + (0,5 + 0,5\cos10\alpha) : (0,5 - 0,5\cos 10\alpha) \cdot \operatorname{tg}^2(\pi - 5\alpha);$

3) $3 + \frac{\cos^2 \alpha - 4\sin^2 \frac{\alpha}{2} \cdot \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{1 - 8\sin^2 \frac{\alpha}{2} \cdot \cos^2 \frac{\alpha}{2}};$

4) $\frac{\sin^4 \alpha + 2\sin\alpha \cos\alpha - \cos^4 \alpha}{\operatorname{tg}2\alpha - 1} - 1.$

1) Рассмотрим выражение $2\tg9\alpha \cdot \ctg(\pi - 9\alpha) + \sin^2\frac{\alpha}{3} \cdot \ctg^2\frac{\alpha}{3} + \sin^2\frac{\alpha}{3}$.

Упростим первую часть выражения, используя формулу приведения $\ctg(\pi - x) = -\ctg x$:

$2\tg9\alpha \cdot \ctg(\pi - 9\alpha) = 2\tg9\alpha \cdot (-\ctg9\alpha)$.

Так как $\tg x \cdot \ctg x = 1$, получаем:

$2\tg9\alpha \cdot (-\ctg9\alpha) = -2(1) = -2$.

Теперь упростим вторую часть выражения: $\sin^2\frac{\alpha}{3} \cdot \ctg^2\frac{\alpha}{3} + \sin^2\frac{\alpha}{3}$.

Вынесем общий множитель $\sin^2\frac{\alpha}{3}$ за скобки:

$\sin^2\frac{\alpha}{3} (\ctg^2\frac{\alpha}{3} + 1)$.

Используя основное тригонометрическое тождество $1 + \ctg^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$, получаем:

$\sin^2\frac{\alpha}{3} \cdot \frac{1}{\sin^2\frac{\alpha}{3}} = 1$.

Альтернативно, можно записать $\ctg\frac{\alpha}{3} = \frac{\cos\frac{\alpha}{3}}{\sin\frac{\alpha}{3}}$, тогда $\sin^2\frac{\alpha}{3} \cdot \frac{\cos^2\frac{\alpha}{3}}{\sin^2\frac{\alpha}{3}} + \sin^2\frac{\alpha}{3} = \cos^2\frac{\alpha}{3} + \sin^2\frac{\alpha}{3} = 1$.

Сложим полученные результаты: $-2 + 1 = -1$.

Ответ: $-1$

2) Рассмотрим выражение $2 + (0,5 + 0,5\cos10\alpha) : (0,5 - 0,5\cos10\alpha) \cdot \tg^2(\pi - 5\alpha)$.

Упростим частное. Вынесем $0,5$ за скобки в делимом и делителе:

$\frac{0,5 + 0,5\cos10\alpha}{0,5 - 0,5\cos10\alpha} = \frac{0,5(1 + \cos10\alpha)}{0,5(1 - \cos10\alpha)} = \frac{1 + \cos10\alpha}{1 - \cos10\alpha}$.

Применим формулы двойного угла в виде $1 + \cos(2x) = 2\cos^2x$ и $1 - \cos(2x) = 2\sin^2x$. Пусть $2x=10\alpha$, тогда $x=5\alpha$.

$\frac{1 + \cos10\alpha}{1 - \cos10\alpha} = \frac{2\cos^2(5\alpha)}{2\sin^2(5\alpha)} = \ctg^2(5\alpha)$.

Теперь упростим множитель $\tg^2(\pi - 5\alpha)$. По формуле приведения $\tg(\pi - x) = -\tg x$.

$\tg^2(\pi - 5\alpha) = (-\tg(5\alpha))^2 = \tg^2(5\alpha)$.

Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$2 + \ctg^2(5\alpha) \cdot \tg^2(5\alpha)$.

Так как $\ctg x \cdot \tg x = 1$, то $\ctg^2(5\alpha) \cdot \tg^2(5\alpha) = 1$.

В результате получаем: $2 + 1 = 3$.

Ответ: $3$

3) Рассмотрим выражение $3 + \frac{\cos^2 \alpha - 4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}}{1 - 8\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}}$.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$. При $x = \frac{\alpha}{2}$ получим $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$.

Возведя обе части в квадрат, получим $\sin^2\alpha = 4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}$.

Подставим это выражение в числитель дроби:

$\cos^2 \alpha - 4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2} = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Это формула косинуса двойного угла: $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$.

Теперь преобразуем знаменатель дроби:

$1 - 8\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2} = 1 - 2 \cdot (4\sin^2\frac{\alpha}{2}\cos^2\frac{\alpha}{2}) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

Это также формула косинуса двойного угла: $1 - 2\sin^2\alpha = \cos(2\alpha)$.

Таким образом, дробь равна $\frac{\cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = 1$ (при условии, что $\cos(2\alpha) \ne 0$).

Исходное выражение равно $3 + 1 = 4$.

Ответ: $4$

4) Рассмотрим выражение $\frac{\sin^4 \alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha - \cos^4 \alpha}{\tg2\alpha - 1} - 1$.

Сначала преобразуем числитель дроби: $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Разложим разность квадратов $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$.

По основному тригонометрическому тождеству $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

По формуле косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, откуда $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha = -\cos(2\alpha)$.

Таким образом, $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = -\cos(2\alpha) \cdot 1 = -\cos(2\alpha)$.

Выражение $2\sin\alpha\cos\alpha$ является синусом двойного угла $\sin(2\alpha)$.

В итоге числитель дроби равен $\sin(2\alpha) - \cos(2\alpha)$.

Теперь преобразуем знаменатель: $\tg(2\alpha) - 1 = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} - 1 = \frac{\sin(2\alpha) - \cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}$.

Разделим полученный числитель на знаменатель:

$\frac{\sin(2\alpha) - \cos(2\alpha)}{\frac{\sin(2\alpha) - \cos(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}} = (\sin(2\alpha) - \cos(2\alpha)) \cdot \frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha) - \cos(2\alpha)} = \cos(2\alpha)$.

Подставим полученное значение дроби в исходное выражение:

$\cos(2\alpha) - 1$.

Это выражение можно упростить, используя формулу $1 - \cos(2\alpha) = 2\sin^2\alpha$.

$\cos(2\alpha) - 1 = -(1 - \cos(2\alpha)) = -2\sin^2\alpha$.

Ответ: $-2\sin^2\alpha$