Номер 43, страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

43. Найдите:

1) $\sin\frac{\alpha}{2}$, $\cos\frac{\alpha}{2}$, $\sin\alpha$, если $\cos\alpha = \frac{7}{9}$, и $0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$;

2) $\sin\frac{\alpha}{2}$, $\cos\frac{\alpha}{2}$, $\cos\alpha$, $\tan\alpha$, если $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$, и $90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$.

1) Дано: $\cos\alpha = \frac{7}{9}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

Сначала найдем $\sin\alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - (\frac{7}{9})^2 = 1 - \frac{49}{81} = \frac{81 - 49}{81} = \frac{32}{81}$.

Так как угол $\alpha$ находится в первой четверти ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), то $\sin\alpha > 0$.

$\sin\alpha = \sqrt{\frac{32}{81}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 2}}{9} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.

Теперь найдем значения для половинного угла $\frac{\alpha}{2}$. Поскольку $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, то $0^\circ < \frac{\alpha}{2} < 45^\circ$. Это означает, что угол $\frac{\alpha}{2}$ также находится в первой четверти, и его синус и косинус будут положительными.

Используем формулы понижения степени (формулы половинного угла):

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} = \frac{1 - \frac{7}{9}}{2} = \frac{\frac{2}{9}}{2} = \frac{1}{9}$.

Так как $\sin\frac{\alpha}{2} > 0$, то $\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$.

$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} = \frac{1 + \frac{7}{9}}{2} = \frac{\frac{16}{9}}{2} = \frac{8}{9}$.

Так как $\cos\frac{\alpha}{2} > 0$, то $\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{1}{3}$, $\cos\frac{\alpha}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\sin\alpha = \frac{4\sqrt{2}}{9}$.

2) Дано: $\sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$.

Сначала найдем $\cos\alpha$. Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$.

Так как угол $\alpha$ находится во второй четверти ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), то $\cos\alpha < 0$.

$\cos\alpha = -\sqrt{\frac{7}{9}} = -\frac{\sqrt{7}}{3}$.

Теперь найдем значения для половинного угла $\frac{\alpha}{2}$. Поскольку $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, то $45^\circ < \frac{\alpha}{2} < 90^\circ$. Это означает, что угол $\frac{\alpha}{2}$ находится в первой четверти, и его синус и косинус будут положительными.

Используем формулы половинного угла:

$\sin^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 - \cos\alpha}{2} = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{7}}{3})}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{7}}{3}}{2} = \frac{\frac{3+\sqrt{7}}{3}}{2} = \frac{3+\sqrt{7}}{6}$.

Так как $\sin\frac{\alpha}{2} > 0$, то $\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{7}}{6}}$.

$\cos^2\frac{\alpha}{2} = \frac{1 + \cos\alpha}{2} = \frac{1 + (-\frac{\sqrt{7}}{3})}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{7}}{3}}{2} = \frac{\frac{3-\sqrt{7}}{3}}{2} = \frac{3-\sqrt{7}}{6}$.

Так как $\cos\frac{\alpha}{2} > 0$, то $\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{3-\sqrt{7}}{6}}$.

Наконец, найдем $\tan\alpha$ по определению $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.

$\tan\alpha = \frac{\frac{\sqrt{2}}{3}}{-\frac{\sqrt{7}}{3}} = -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}} = -\frac{\sqrt{2}\sqrt{7}}{7} = -\frac{\sqrt{14}}{7}$.

Ответ: $\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{7}}{6}}$, $\cos\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{3-\sqrt{7}}{6}}$, $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{3}$, $\tan\alpha = -\frac{\sqrt{14}}{7}$.