Номер 38, страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38. Найдите значение суммы членов бесконечной геометрической прогрессии:

1) $ \sqrt{3}; -1; \frac{1}{\sqrt{3}}; \dots $

2) $ \sqrt{2}+\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)+\dots $

1) Это бесконечная геометрическая прогрессия. Найдем её первый член и знаменатель.Первый член прогрессии $b_1 = \sqrt{3}$.Второй член прогрессии $b_2 = -1$.Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому:$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{\sqrt{3}}$.Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии существует, если модуль её знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.Проверим это условие: $|q| = |-\frac{1}{\sqrt{3}}| = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $\sqrt{3} > 1$, то $\frac{1}{\sqrt{3}} < 1$. Условие выполняется.Сумма $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.Подставим наши значения:$S = \frac{\sqrt{3}}{1 - (-\frac{1}{\sqrt{3}})} = \frac{\sqrt{3}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}$.Упростим выражение, приведя знаменатель к общему знаменателю:$S = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3}{\sqrt{3} + 1}$.Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} - 1)$:$S = \frac{3(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{3(\sqrt{3} - 1)}{2}$.Ответ: $\frac{3(\sqrt{3} - 1)}{2}$.

2) Данная сумма является суммой членов бесконечной геометрической прогрессии.Первый член прогрессии $b_1 = \sqrt{2}$.Второй член прогрессии $b_2 = \sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)$.Найдем знаменатель прогрессии $q$:$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$.Проверим условие сходимости $|q| < 1$:$|q| = |\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1$. Так как $1.4 < \sqrt{2} < 1.5$, то $0.4 < \sqrt{2} - 1 < 0.5$, следовательно, $|q| < 1$.Сумма $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.Подставим значения $b_1$ и $q$:$S = \frac{\sqrt{2}}{1 - (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$.Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{2})$:$S = \frac{\sqrt{2}(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{4 - 2} = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{2} = \sqrt{2} + 1$.Ответ: $\sqrt{2} + 1$.