Номер 41, страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41. Вычислите:

1) $2\sin\frac{\pi}{6} - 4\cos\frac{\pi}{6} + \text{tg}\frac{\pi}{6} - 4\text{ctg}\frac{4\pi}{3}$;

2) $-3\cos\frac{\pi}{2} + 7\sin\frac{\pi}{2} - 3\text{ctg}\frac{5\pi}{4} - 5\text{tg}0^\circ$;

3) $\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6} + \sqrt{3}\cdot\text{ctg}\frac{\pi}{3} - 11\text{ctg}\frac{9\pi}{4}$;

4) $\text{ctg}\frac{\pi}{2} - 5\sin\frac{\pi}{3} + 6\cos\frac{\pi}{3} - \text{tg}\frac{\pi}{6}$.

42. Найдите

1) Для вычисления значения выражения $2\sin\frac{\pi}{6} - 4\cos\frac{\pi}{6} + \tg\frac{\pi}{6} - 4\ctg\frac{4\pi}{3}$ сначала найдем значения каждой тригонометрической функции.

Используем табличные значения для углов $\frac{\pi}{6}$:

$ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $

$ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Для угла $\frac{4\pi}{3}$ используем формулы приведения:

$ \ctg\frac{4\pi}{3} = \ctg(\pi + \frac{\pi}{3}) = \ctg\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$ 2 \cdot \frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} - 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 1 - 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} $

Сгруппируем слагаемые:

$ 1 - 2\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} = 1 - 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = 1 - 3\sqrt{3} $

Ответ: $1 - 3\sqrt{3}$.

2) Для вычисления значения выражения $-3\cos\frac{\pi}{2} + 7\sin\frac{\pi}{2} - 3\ctg\frac{5\pi}{4} - 5\tg0^\circ$ найдем значения тригонометрических функций.

Используем табличные значения и свойства функций:

$ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $

$ \sin\frac{\pi}{2} = 1 $

$ \ctg\frac{5\pi}{4} = \ctg(\pi + \frac{\pi}{4}) = \ctg\frac{\pi}{4} = 1 $

$ \tg0^\circ = 0 $

Подставим значения в выражение:

$ -3 \cdot 0 + 7 \cdot 1 - 3 \cdot 1 - 5 \cdot 0 = 0 + 7 - 3 - 0 = 4 $

Ответ: 4.

3) Для вычисления значения выражения $\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6} + \sqrt{3} \cdot \ctg\frac{\pi}{3} - 11\ctg\frac{9\pi}{4}$ найдем значения тригонометрических функций.

Используем табличные значения и свойства периодичности:

$ \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \ctg\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

$ \ctg\frac{9\pi}{4} = \ctg(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \ctg\frac{\pi}{4} = 1 $

Подставим значения в выражение:

$ \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - 11 \cdot 1 = \frac{3}{2} + \frac{3}{3} - 11 $

$ = \frac{3}{2} + 1 - 11 = \frac{3}{2} - 10 = \frac{3}{2} - \frac{20}{2} = -\frac{17}{2} $

Ответ: $-\frac{17}{2}$.

4) Для вычисления значения выражения $\ctg\frac{\pi}{2} - 5\sin\frac{\pi}{3} + 6\cos\frac{\pi}{3} - \tg\frac{\pi}{6}$ найдем значения тригонометрических функций.

Используем табличные значения:

$ \ctg\frac{\pi}{2} = 0 $

$ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $

$ \tg\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} $

Подставим значения в выражение:

$ 0 - 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 6 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{5\sqrt{3}}{2} + 3 - \frac{\sqrt{3}}{3} $

Приведем слагаемые с $\sqrt{3}$ к общему знаменателю:

$ 3 - \left(\frac{5\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 3 - \left(\frac{3 \cdot 5\sqrt{3}}{6} + \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{6}\right) = 3 - \left(\frac{15\sqrt{3} + 2\sqrt{3}}{6}\right) = 3 - \frac{17\sqrt{3}}{6} $

Ответ: $3 - \frac{17\sqrt{3}}{6}$.