Номер 42, страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

42. Найдите:

1) $\cos\alpha, \sin2\alpha, \cos2\alpha$, если $\sin\alpha = 0,4$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$;

2) $\sin\alpha, \cot\alpha, \tan2\alpha$, если $\cos\alpha = -0,6$ и $180^\circ < \alpha < 270^\circ$;

3) $\cos\alpha, \sin\alpha, \cos2\alpha$, если $\tan\alpha = \sqrt{8}$ и $180^\circ < \alpha < 270^\circ$.

1) cosα, sin2α, cos2α, если sinα = 0,4 и 90° < α < 180°

1. Найдём $cosα$ из основного тригонометрического тождества $sin^2α + cos^2α = 1$.

$cos^2α = 1 - sin^2α = 1 - (0,4)^2 = 1 - 0,16 = 0,84$.

$cosα = \pm\sqrt{0,84} = \pm\sqrt{\frac{84}{100}} = \pm\frac{\sqrt{4 \cdot 21}}{10} = \pm\frac{2\sqrt{21}}{10} = \pm\frac{\sqrt{21}}{5}$.

Поскольку угол $α$ находится во второй четверти ($90° < α < 180°$), его косинус отрицателен. Следовательно, $cosα = -\frac{\sqrt{21}}{5}$.

2. Теперь найдём $sin2α$ по формуле синуса двойного угла: $sin2α = 2sinαcosα$.

$sin2α = 2 \cdot 0,4 \cdot (-\frac{\sqrt{21}}{5}) = 2 \cdot \frac{2}{5} \cdot (-\frac{\sqrt{21}}{5}) = -\frac{4\sqrt{21}}{25}$.

3. Найдём $cos2α$ по формуле косинуса двойного угла: $cos2α = 1 - 2sin^2α$.

$cos2α = 1 - 2 \cdot (0,4)^2 = 1 - 2 \cdot 0,16 = 1 - 0,32 = 0,68$.

Ответ: $cosα = -\frac{\sqrt{21}}{5}$, $sin2α = -\frac{4\sqrt{21}}{25}$, $cos2α = 0,68$.

2) sinα, ctgα, tg2α, если cosα = -0,6 и 180° < α < 270°

1. Найдём $sinα$ из основного тригонометрического тождества $sin^2α + cos^2α = 1$.

$sin^2α = 1 - cos^2α = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.

$sinα = \pm\sqrt{0,64} = \pm0,8$.

Поскольку угол $α$ находится в третьей четверти ($180° < α < 270°$), его синус отрицателен. Следовательно, $sinα = -0,8$.

2. Найдём $ctgα$ по определению: $ctgα = \frac{cosα}{sinα}$.

$ctgα = \frac{-0,6}{-0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$.

3. Для нахождения $tg2α$ сначала найдём $tgα$: $tgα = \frac{1}{ctgα} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.

Теперь используем формулу тангенса двойного угла: $tg2α = \frac{2tgα}{1 - tg^2α}$.

$tg2α = \frac{2 \cdot \frac{4}{3}}{1 - (\frac{4}{3})^2} = \frac{\frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{\frac{9-16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} = \frac{8}{3} \cdot (-\frac{9}{7}) = -\frac{24}{7}$.

Ответ: $sinα = -0,8$, $ctgα = 0,75$, $tg2α = -\frac{24}{7}$.

3) cosα, sinα, cos2α, если tgα = √8 и 180° < α < 270°

1. Найдём $cosα$ из тождества $1 + tg^2α = \frac{1}{cos^2α}$.

$cos^2α = \frac{1}{1 + tg^2α} = \frac{1}{1 + (\sqrt{8})^2} = \frac{1}{1 + 8} = \frac{1}{9}$.

$cosα = \pm\sqrt{\frac{1}{9}} = \pm\frac{1}{3}$.

Поскольку угол $α$ находится в третьей четверти ($180° < α < 270°$), его косинус отрицателен. Следовательно, $cosα = -\frac{1}{3}$.

2. Найдём $sinα$ из определения тангенса: $sinα = tgα \cdot cosα$.

$sinα = \sqrt{8} \cdot (-\frac{1}{3}) = -\frac{\sqrt{8}}{3} = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

3. Найдём $cos2α$, используя формулу $cos2α = \frac{1 - tg^2α}{1 + tg^2α}$.

$cos2α = \frac{1 - (\sqrt{8})^2}{1 + (\sqrt{8})^2} = \frac{1 - 8}{1 + 8} = -\frac{7}{9}$.

(Также можно было использовать формулу $cos2α = cos^2α - sin^2α = (-\frac{1}{3})^2 - (-\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 = \frac{1}{9} - \frac{8}{9} = -\frac{7}{9}$).

Ответ: $cosα = -\frac{1}{3}$, $sinα = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $cos2α = -\frac{7}{9}$.