Номер 47, страница 12, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

47. Упростите выражение:

1) $ \text{tg} \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \cdot \text{ctg}(2\pi - \alpha) \cdot \text{cos} \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) \cdot \text{tg}(2\pi + \alpha); $

2) $ \frac{\text{sin}\alpha - \text{sin}3\alpha}{\text{cos}\alpha - \text{cos}3\alpha}; $

3) $ \text{cos}(2\pi - \alpha) \cdot \left( \text{tg}\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) \right)^2 \cdot \text{tg}(2\pi + \alpha) \cdot \left( \text{ctg}\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) \right)^2; $

4) $ \frac{\text{sin}^2 \alpha - \text{tg}^2 \alpha}{\text{cos}^2 \alpha - \text{ctg}^2 \alpha}. $

1) Упростим выражение $tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cdot ctg(2\pi - \alpha) \cdot cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) \cdot tg(2\pi + \alpha)$, используя формулы приведения для каждого множителя.

По формулам приведения имеем:

$tg(\frac{\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$, так как для углов $(\frac{\pi}{2} \pm \alpha)$ тригонометрическая функция меняется на кофункцию, а в I четверти знак тангенса положительный.

$ctg(2\pi - \alpha) = -ctg(\alpha)$, так как $2\pi$ — это полный оборот, и мы попадаем в IV четверть, где котангенс отрицателен.

$cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = sin(\alpha)$, так как для углов $(\frac{\pi}{2} \pm \alpha)$ функция меняется на кофункцию, а в I четверти знак косинуса положительный.

$tg(2\pi + \alpha) = tg(\alpha)$, так как тангенс имеет период $\pi$, а значит и $2\pi$.

Подставим упрощенные выражения в исходное:

$ctg(\alpha) \cdot (-ctg(\alpha)) \cdot sin(\alpha) \cdot tg(\alpha) = -ctg^2(\alpha) \cdot sin(\alpha) \cdot tg(\alpha)$

Используя определения $ctg(\alpha) = \frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}$ и $tg(\alpha) = \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$, а также то, что $ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha) = 1$, получим:

$-ctg(\alpha) \cdot (ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha)) \cdot sin(\alpha) = -ctg(\alpha) \cdot 1 \cdot sin(\alpha) = -\frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} \cdot sin(\alpha) = -cos(\alpha)$

Ответ: $-cos(\alpha)$

2) Для упрощения дроби $\frac{sin\alpha - sin3\alpha}{cos\alpha - cos3\alpha}$ воспользуемся формулами преобразования разности синусов и косинусов в произведение.

Формула разности синусов: $sin(x) - sin(y) = 2sin(\frac{x-y}{2})cos(\frac{x+y}{2})$.

Формула разности косинусов: $cos(x) - cos(y) = -2sin(\frac{x+y}{2})sin(\frac{x-y}{2})$.

Применим эти формулы к числителю и знаменателю нашей дроби.

Числитель: $sin\alpha - sin3\alpha = 2sin(\frac{\alpha-3\alpha}{2})cos(\frac{\alpha+3\alpha}{2}) = 2sin(-\alpha)cos(2\alpha) = -2sin(\alpha)cos(2\alpha)$, так как $sin(-x)=-sin(x)$.

Знаменатель: $cos\alpha - cos3\alpha = -2sin(\frac{\alpha+3\alpha}{2})sin(\frac{\alpha-3\alpha}{2}) = -2sin(2\alpha)sin(-\alpha) = -2sin(2\alpha)(-sin(\alpha)) = 2sin(2\alpha)sin(\alpha)$.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{-2sin(\alpha)cos(2\alpha)}{2sin(2\alpha)sin(\alpha)}$

Сократим общие множители $2sin(\alpha)$ (при условии, что $sin(\alpha) \neq 0$):

$\frac{-cos(2\alpha)}{sin(2\alpha)} = -ctg(2\alpha)$

Ответ: $-ctg(2\alpha)$

3) Упростим выражение $cos(2\pi - \alpha) \cdot (tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha))^2 \cdot tg(2\pi + \alpha) \cdot (ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha))^2$.

Снова воспользуемся формулами приведения.

$cos(2\pi - \alpha) = cos(\alpha)$ (IV четверть, косинус положительный).

$tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = ctg(\alpha)$ (III четверть, тангенс положительный, функция меняется на кофункцию).

$tg(2\pi + \alpha) = tg(\alpha)$ (периодичность).

$ctg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -tg(\alpha)$ (II четверть, котангенс отрицательный, функция меняется на кофункцию).

Подставляем в исходное выражение:

$cos(\alpha) \cdot (ctg(\alpha))^2 \cdot tg(\alpha) \cdot (-tg(\alpha))^2$

Так как $(-a)^2 = a^2$, выражение принимает вид:

$cos(\alpha) \cdot ctg^2(\alpha) \cdot tg(\alpha) \cdot tg^2(\alpha) = cos(\alpha) \cdot ctg^2(\alpha) \cdot tg^3(\alpha)$

Используем тождество $ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha) = 1$. Перепишем выражение:

$cos(\alpha) \cdot (ctg(\alpha) \cdot tg(\alpha))^2 \cdot tg(\alpha) = cos(\alpha) \cdot 1^2 \cdot tg(\alpha) = cos(\alpha) \cdot tg(\alpha)$

Заменим $tg(\alpha)$ на $\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}$:

$cos(\alpha) \cdot \frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = sin(\alpha)$

Ответ: $sin(\alpha)$

4) Упростим выражение $\frac{sin^2\alpha - tg^2\alpha}{cos^2\alpha - ctg^2\alpha}$.

Заменим тангенс и котангенс через отношения синуса и косинуса: $tg^2\alpha = \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}$ и $ctg^2\alpha = \frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}$.

Преобразуем числитель:

$sin^2\alpha - tg^2\alpha = sin^2\alpha - \frac{sin^2\alpha}{cos^2\alpha} = \frac{sin^2\alpha \cdot cos^2\alpha - sin^2\alpha}{cos^2\alpha} = \frac{sin^2\alpha(cos^2\alpha - 1)}{cos^2\alpha}$

Из основного тригонометрического тождества $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$ следует, что $cos^2\alpha - 1 = -sin^2\alpha$.

Тогда числитель равен: $\frac{sin^2\alpha(-sin^2\alpha)}{cos^2\alpha} = -\frac{sin^4\alpha}{cos^2\alpha}$.

Преобразуем знаменатель:

$cos^2\alpha - ctg^2\alpha = cos^2\alpha - \frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha} = \frac{cos^2\alpha \cdot sin^2\alpha - cos^2\alpha}{sin^2\alpha} = \frac{cos^2\alpha(sin^2\alpha - 1)}{sin^2\alpha}$

Аналогично, $sin^2\alpha - 1 = -cos^2\alpha$.

Тогда знаменатель равен: $\frac{cos^2\alpha(-cos^2\alpha)}{sin^2\alpha} = -\frac{cos^4\alpha}{sin^2\alpha}$.

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{-\frac{sin^4\alpha}{cos^2\alpha}}{-\frac{cos^4\alpha}{sin^2\alpha}} = \frac{sin^4\alpha}{cos^2\alpha} \cdot \frac{sin^2\alpha}{cos^4\alpha} = \frac{sin^4\alpha \cdot sin^2\alpha}{cos^2\alpha \cdot cos^4\alpha} = \frac{sin^6\alpha}{cos^6\alpha} = (\frac{sin\alpha}{cos\alpha})^6 = tg^6\alpha$.

Ответ: $tg^6\alpha$