Номер 31, страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

31. На рисунке 5 изображен график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$. $D = b^2-4ac$. Найдите верные неравенства:

а) $ac > 0$;
б) $Dc > 0$;
в) $Db > 0$;
г) $bc > 0$;
д) $aD > 0$.

а) $ab > 0$;
б) $Dc > 0$;
в) $Db > 0$;
г) $bc > 0$;
д) $aD > 0$.

Рис. 5

Для решения задачи проанализируем каждый график отдельно, определяя знаки коэффициентов $a$, $b$, $c$ и дискриминанта $D$ по виду параболы.

1) Анализируем график на рисунке 1:

• Ветви параболы направлены вверх, это означает, что старший коэффициент $a$ положителен: $a > 0$.
• График пересекает ось ординат (ось $y$) в точке выше начала координат. Значение функции при $x=0$ равно $c$, следовательно, свободный член $c$ положителен: $c > 0$.
• Вершина параболы имеет абсциссу $x_0 = -b/(2a)$. На графике видно, что вершина находится в левой полуплоскости, то есть $x_0 < 0$. Так как мы уже установили, что $a > 0$, из неравенства $-b/(2a) < 0$ следует, что $-b < 0$, а значит $b > 0$.
• Парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс (осью $x$), что означает отсутствие действительных корней у квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Это возможно только если дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен: $D < 0$.

Теперь проверим истинность предложенных неравенств для графика 1:

а) $ac > 0$: Поскольку $a > 0$ и $c > 0$, их произведение положительно. Неравенство верное.

б) $Dc > 0$: Поскольку $D < 0$ и $c > 0$, их произведение отрицательно ($Dc < 0$). Неравенство неверное.

в) $Db > 0$: Поскольку $D < 0$ и $b > 0$, их произведение отрицательно ($Db < 0$). Неравенство неверное.

г) $bc > 0$: Поскольку $b > 0$ и $c > 0$, их произведение положительно. Неравенство верное.

д) $aD > 0$: Поскольку $a > 0$ и $D < 0$, их произведение отрицательно ($aD < 0$). Неравенство неверное.

Ответ: а), г).

2) Анализируем график на рисунке 2:

• Ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$.
• График пересекает ось $y$ в точке ниже начала координат, значит, $c < 0$.
• Вершина параболы с абсциссой $x_0 = -b/(2a)$ находится в правой полуплоскости, то есть $x_0 > 0$. Так как $a > 0$, из неравенства $-b/(2a) > 0$ следует, что $-b > 0$, а значит $b < 0$.
• Парабола пересекает ось $x$ в двух различных точках. Это означает, что квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, и, следовательно, дискриминант $D$ положителен: $D > 0$.

Теперь проверим истинность предложенных неравенств для графика 2:

а) $ab > 0$: Поскольку $a > 0$ и $b < 0$, их произведение отрицательно ($ab < 0$). Неравенство неверное.

б) $Dc > 0$: Поскольку $D > 0$ и $c < 0$, их произведение отрицательно ($Dc < 0$). Неравенство неверное.

в) $Db > 0$: Поскольку $D > 0$ и $b < 0$, их произведение отрицательно ($Db < 0$). Неравенство неверное.

г) $bc > 0$: Поскольку $b < 0$ и $c < 0$ (оба отрицательные), их произведение положительно. Неравенство верное.

д) $aD > 0$: Поскольку $a > 0$ и $D > 0$, их произведение положительно. Неравенство верное.

Ответ: г), д).