Номер 28, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

28. Запишите аналитическую формулу функции $y = f(x)$ и укажите область определения, множество значений, промежутки возрастания и убывания функции по ее графику (рис. 2):

1)

2)

3)

4)

Рис. 2

1) Аналитическая формула: График является параболой с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$. Общая формула параболы с вершиной в точке $(h, k)$ имеет вид $y = a(x-h)^2 + k$. Подставляя координаты вершины, получаем $y = a(x-0)^2 - 2$, то есть $y = ax^2 - 2$. Для нахождения коэффициента $a$ возьмем любую точку на графике, например, $(1, -1)$. Подставим ее координаты в уравнение: $-1 = a \cdot 1^2 - 2$, откуда $a = 1$. Таким образом, аналитическая формула функции: $y = x^2 - 2$.

Область определения: Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Так как ветви параболы направлены вверх, а ордината вершины равна $-2$, функция принимает все значения, большие или равные $-2$. $E(f) = [-2; +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания: Функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает справа от вершины. Вершина находится при $x=0$. Следовательно, функция убывает при $x \in (-\infty; 0]$ и возрастает при $x \in [0; +\infty)$.

Ответ: Аналитическая формула: $y = x^2 - 2$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Множество значений: $[-2; +\infty)$. Промежуток убывания: $(-\infty; 0]$. Промежуток возрастания: $[0; +\infty)$.

2) Аналитическая формула: График является параболой с ветвями вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 2)$. Используя общую формулу $y = a(x-h)^2 + k$, получаем $y = a(x-0)^2 + 2$, то есть $y = ax^2 + 2$. Для нахождения коэффициента $a$ возьмем точку на графике, например, $(1, 1)$. Подставим ее координаты: $1 = a \cdot 1^2 + 2$, откуда $a = -1$. Таким образом, аналитическая формула функции: $y = -x^2 + 2$.

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Множество значений: Так как ветви параболы направлены вниз, а ордината вершины равна $2$, функция принимает все значения, меньшие или равные $2$. $E(f) = (-\infty; 2]$.

Промежутки возрастания и убывания: Функция возрастает слева от вершины и убывает справа от нее. Вершина находится при $x=0$. Следовательно, функция возрастает при $x \in (-\infty; 0]$ и убывает при $x \in [0; +\infty)$.

Ответ: Аналитическая формула: $y = -x^2 + 2$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Множество значений: $(-\infty; 2]$. Промежуток возрастания: $(-\infty; 0]$. Промежуток убывания: $[0; +\infty)$.

3) Аналитическая формула: График представляет собой функцию квадратного корня. Общая формула имеет вид $y = a\sqrt{x-h} + k$. Начальная точка графика находится в $(0, 0)$, поэтому $h=0, k=0$, и формула упрощается до $y = a\sqrt{x}$. Для нахождения $a$ возьмем точку $(1, 1)$ на графике. Подставляя ее, получаем $1 = a\sqrt{1}$, откуда $a=1$. Проверим по точке $(4, 2)$: $2 = a\sqrt{4} \Rightarrow 2=2a \Rightarrow a=1$. Аналитическая формула функции: $y = \sqrt{x}$.

Область определения: Функция квадратного корня определена для неотрицательных подкоренных выражений. $x \ge 0$. $D(f) = [0; +\infty)$.

Множество значений: Значение квадратного корня всегда неотрицательно. $y \ge 0$. $E(f) = [0; +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания: Функция возрастает на всей своей области определения. Промежуток возрастания: $[0; +\infty)$. Промежутков убывания нет.

Ответ: Аналитическая формула: $y = \sqrt{x}$. Область определения: $[0; +\infty)$. Множество значений: $[0; +\infty)$. Промежуток возрастания: $[0; +\infty)$.

4) Аналитическая формула: График является гиперболой. Уравнение гиперболы со смещенными асимптотами имеет вид $y = \frac{k}{x-a} + b$. Из графика видно, что вертикальная асимптота проходит через $x=1$, а горизонтальная — через $y=1$. Следовательно, $a=1$ и $b=1$. Формула принимает вид $y = \frac{k}{x-1} + 1$. Для нахождения $k$ используем точку на графике, например, начало координат $(0, 0)$. Подставляя, получаем $0 = \frac{k}{0-1} + 1$, откуда $0 = -k + 1$ и $k=1$. Аналитическая формула функции: $y = \frac{1}{x-1} + 1$.

Область определения: Функция определена везде, кроме точки, где знаменатель обращается в ноль. $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$. $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Множество значений: Функция принимает все значения, кроме значения горизонтальной асимптоты $y=1$. $E(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания: На обоих интервалах области определения, $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$, функция убывает. Промежутков возрастания нет.

Ответ: Аналитическая формула: $y = \frac{1}{x-1} + 1$. Область определения: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Множество значений: $(-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Промежутки убывания: $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.