Номер 24, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24. Решите графически уравнение и запишите приближенные значения его корней:

1) $x^2 - 6x = \frac{1}{x+1}$;

2) $-3x^2 + 2x = \frac{x+1}{x-2}$.

Для графического решения уравнения вида $f(x) = g(x)$ необходимо построить графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями исходного уравнения.

1) $x^2 - 6x = \frac{1}{x+1}$

Рассмотрим две функции: $y_1 = x^2 - 6x$ и $y_2 = \frac{1}{x+1}$.

1. Построим график функции $y_1 = x^2 - 6x$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$

$y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9$

Вершина находится в точке $(3, -9)$.

Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции):

$x^2 - 6x = 0 \implies x(x-6) = 0 \implies x=0$ или $x=6$.

Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

Составим таблицу значений:

2. Построим график функции $y_2 = \frac{1}{x+1}$.

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола. График получен сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу влево.

Вертикальная асимптота: $x = -1$.

Горизонтальная асимптота: $y = 0$.

Составим таблицу значений:

3. Построим оба графика в одной системе координат и найдем точки их пересечения.

Из графика видно, что парабола и гипербола пересекаются в двух точках.

Первая точка пересечения имеет абсциссу, близкую к $x = -0.2$. Проверим: $y_1(-0.2) = (-0.2)^2 - 6(-0.2) = 0.04 + 1.2 = 1.24$. $y_2(-0.2) = \frac{1}{-0.2+1} = \frac{1}{0.8} = 1.25$. Значения очень близки.

Вторая точка пересечения имеет абсциссу, немного большую $x = 6$. Проверим: $y_1(6.02) = (6.02)^2 - 6(6.02) \approx 36.24 - 36.12 = 0.12$. $y_2(6.02) = \frac{1}{6.02+1} \approx \frac{1}{7.02} \approx 0.14$. Значения близки.

Приближенные значения корней: $x_1 \approx -0.2$, $x_2 \approx 6.0$.

Ответ: $x_1 \approx -0.2$, $x_2 \approx 6.0$.

2) $-3x^2 + 2x = \frac{x+1}{x-2}$

Рассмотрим две функции: $y_1 = -3x^2 + 2x$ и $y_2 = \frac{x+1}{x-2}$.

1. Построим график функции $y_1 = -3x^2 + 2x$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-3)} = \frac{1}{3}$

$y_0 = -3(\frac{1}{3})^2 + 2 \cdot \frac{1}{3} = -3 \cdot \frac{1}{9} + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Вершина находится в точке $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$.

Найдем точки пересечения с осью Ox:

$-3x^2 + 2x = 0 \implies x(-3x+2) = 0 \implies x=0$ или $x=\frac{2}{3}$.

Точки пересечения с осью Ox: $(0, 0)$ и $(\frac{2}{3}, 0)$.

Составим таблицу значений:

2. Построим график функции $y_2 = \frac{x+1}{x-2}$.

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола. Преобразуем выражение: $y_2 = \frac{x-2+3}{x-2} = 1 + \frac{3}{x-2}$.

График получен сдвигом графика $y = \frac{3}{x}$ на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх.

Вертикальная асимптота: $x = 2$.

Горизонтальная асимптота: $y = 1$.

Составим таблицу значений:

3. Построим оба графика в одной системе координат и найдем точки их пересечения.

Из графика видно, что парабола и гипербола пересекаются в одной точке. Хотя в условии задачи слово "корней" употреблено во множественном числе, графический и алгебраический анализ показывают наличие только одного решения.

Точка пересечения находится в интервале $(-0.2, -0.1)$.

Проверим значение $x \approx -0.16$:

$y_1(-0.16) = -3(-0.16)^2 + 2(-0.16) = -3(0.0256) - 0.32 = -0.0768 - 0.32 = -0.3968$

$y_2(-0.16) = \frac{-0.16+1}{-0.16-2} = \frac{0.84}{-2.16} \approx -0.3889$

Значения очень близки, поэтому $x \approx -0.16$ является хорошим приближением корня.

Ответ: $x \approx -0.16$.