Номер 26, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26. Напишите аналитическую формулу функции, если ее график получен из графика функции:

1) $y = 2x^2$ путем смещения вдоль:

а) оси $Ox$ на 3 единицы вправо;

б) оси $Oy$ на 2 единицы вниз;

в) оси $Ox$ на 4 единицы влево и вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вниз;

2) $y = \frac{1}{x}$ путем смещения вдоль:

а) оси $Ox$ на 3 единицы вправо;

б) оси $Oy$ на 2 единицы вниз;

в) оси $Ox$ на 4 единицы влево и вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вверх;

3) $y=3\sqrt{x}$ путем смещения вдоль:

а) оси $Ox$ на 3 единицы вправо;

б) оси $Oy$ на 2 единицы вниз;

в) оси $Ox$ на 4 единицы влево и вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вниз.

Для решения задачи воспользуемся правилами преобразования графиков функций. Пусть дана функция $y=f(x)$.

• График функции $y=f(x-c)$ получается из графика $y=f(x)$ сдвигом вдоль оси $Ox$ на $c$ единиц вправо.
• График функции $y=f(x+c)$ получается из графика $y=f(x)$ сдвигом вдоль оси $Ox$ на $c$ единиц влево.
• График функции $y=f(x)+d$ получается из графика $y=f(x)$ сдвигом вдоль оси $Oy$ на $d$ единиц вверх.
• График функции $y=f(x)-d$ получается из графика $y=f(x)$ сдвигом вдоль оси $Oy$ на $d$ единиц вниз.

1) Исходная функция: $y = 2x^2$.

а) Смещение вдоль оси $Ox$ на 3 единицы вправо. Это означает, что мы заменяем $x$ на $(x-3)$. Новая функция имеет вид $y = 2(x-3)^2$.

Ответ: $y = 2(x-3)^2$

б) Смещение вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вниз. Это означает, что мы вычитаем 2 из всей функции. Новая функция имеет вид $y = 2x^2 - 2$.

Ответ: $y = 2x^2 - 2$

в) Смещение вдоль оси $Ox$ на 4 единицы влево и вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вниз. Смещение влево на 4 единицы означает замену $x$ на $(x+4)$. Смещение вниз на 3 единицы означает вычитание 3 из всей функции. Применяя оба преобразования, получаем: $y = 2(x+4)^2 - 3$.

Ответ: $y = 2(x+4)^2 - 3$

2) Исходная функция: $y = \frac{1}{x}$.

а) Смещение вдоль оси $Ox$ на 3 единицы вправо. Заменяем $x$ на $(x-3)$. Новая функция: $y = \frac{1}{x-3}$.

Ответ: $y = \frac{1}{x-3}$

б) Смещение вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вниз. Вычитаем 2 из функции. Новая функция: $y = \frac{1}{x} - 2$.

Ответ: $y = \frac{1}{x} - 2$

в) Смещение вдоль оси $Ox$ на 4 единицы влево и вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вверх. Смещение влево на 4 единицы — замена $x$ на $(x+4)$. Смещение вверх на 3 единицы — прибавление 3 ко всей функции. В результате получаем: $y = \frac{1}{x+4} + 3$.

Ответ: $y = \frac{1}{x+4} + 3$

3) Исходная функция: $y = 3\sqrt{x}$.

а) Смещение вдоль оси $Ox$ на 3 единицы вправо. Заменяем $x$ в подкоренном выражении на $(x-3)$. Новая функция: $y = 3\sqrt{x-3}$.

Ответ: $y = 3\sqrt{x-3}$

б) Смещение вдоль оси $Oy$ на 2 единицы вниз. Вычитаем 2 из всей функции. Новая функция: $y = 3\sqrt{x} - 2$.

Ответ: $y = 3\sqrt{x} - 2$

в) Смещение вдоль оси $Ox$ на 4 единицы влево и вдоль оси $Oy$ на 3 единицы вниз. Смещение влево на 4 — замена $x$ на $(x+4)$. Смещение вниз на 3 — вычитание 3 из функции. Получаем: $y = 3\sqrt{x+4} - 3$.

Ответ: $y = 3\sqrt{x+4} - 3$