Номер 29, страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

29. На рисунке 3 изображен график квадратичной функции. Укажите:

1) нули и промежутки монотонности функции;

2) промежутки знакопостоянства функции;

3) множество значений функции.

Запишите уравнение оси симметрии.

Рис. 3

1) нули и промежутки монотонности функции;

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Графически это точки пересечения графика с осью абсцисс ($Ox$). Из рисунка видно, что график пересекает ось $Ox$ в точках $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$. Это и есть нули функции.

Промежутки монотонности определяют, где функция возрастает, а где убывает. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x = 2$. До вершины (при $x < 2$) функция убывает. После вершины (при $x > 2$) функция возрастает. Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$ и возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

Ответ: нули функции: 0 и 4; функция убывает на промежутке $(-\infty, 2]$, возрастает на промежутке $[2, +\infty)$.

2) промежутки знакопостоянства функции;

Промежутки знакопостоянства – это интервалы, на которых функция принимает только положительные или только отрицательные значения. Функция положительна ($y > 0$), когда ее график расположен выше оси $Ox$. Это происходит на двух промежутках: от $-\infty$ до первого нуля и от второго нуля до $+\infty$. То есть, $y > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.

Функция отрицательна ($y < 0$), когда ее график расположен ниже оси $Ox$. Это происходит между нулями функции. То есть, $y < 0$ при $x \in (0, 4)$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (0, 4)$.

3) множество значений функции.

Множество значений функции (или область значений) – это все возможные значения, которые может принимать переменная $y$. На графике изображена парабола с ветвями, направленными вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине. Координаты вершины параболы: $(2, -4)$. Следовательно, наименьшее значение функции равно -4. Все остальные значения больше этого. Таким образом, множество значений функции – это все числа от -4, включая -4, до $+\infty$.

Ответ: $E(y) = [-4, +\infty)$.

Запишите уравнение оси симметрии.

Ось симметрии параболы – это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Вершина параболы имеет координаты $(2, -4)$. Уравнение вертикальной прямой, проходящей через точку с абсциссой 2, имеет вид $x=2$.

Ответ: $x = 2$.