Номер 23, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23. Постройте график функции и найдите наибольшее или наименьшее значение функции (если они существуют):

1) $y = 2x^2 - 2x + 3;$

2) $y = -2x^2 - 4x + 5;$

3) $y = 4 - \sqrt{x-2};$

4) $y = -2 + \sqrt{3-x}.$

1) $y = 2x^2 - 2x + 3$

Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительное число), ветви параболы направлены вверх. Для построения графика определим координаты вершины параболы и найдём несколько точек.

Координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$

$y_0 = 2(0.5)^2 - 2(0.5) + 3 = 2 \cdot 0.25 - 1 + 3 = 0.5 - 1 + 3 = 2.5$

Вершина параболы находится в точке $(0.5; 2.5)$.

Найдём несколько дополнительных точек для построения графика:

Если $x=0$, то $y = 2(0)^2 - 2(0) + 3 = 3$. Точка $(0; 3)$.

Если $x=1$, то $y = 2(1)^2 - 2(1) + 3 = 2 - 2 + 3 = 3$. Точка $(1; 3)$.

Если $x=2$, то $y = 2(2)^2 - 2(2) + 3 = 8 - 4 + 3 = 7$. Точка $(2; 7)$.

Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в своей вершине. Наибольшего значения у функции не существует, так как её значения неограниченно возрастают при $x \to \pm\infty$.

Наименьшее значение функции равно ординате вершины.

$y_{наим} = 2.5$.

Ответ: Наименьшее значение функции: 2.5.

2) $y = -2x^2 - 4x + 5$

Это квадратичная функция, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен -2 (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз. Для построения графика определим координаты вершины параболы.

Координаты вершины $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-2)} = \frac{4}{-4} = -1$

$y_0 = -2(-1)^2 - 4(-1) + 5 = -2(1) + 4 + 5 = -2 + 4 + 5 = 7$

Вершина параболы находится в точке $(-1; 7)$.

Найдём несколько дополнительных точек для построения графика:

Если $x=0$, то $y = -2(0)^2 - 4(0) + 5 = 5$. Точка $(0; 5)$.

Если $x=1$, то $y = -2(1)^2 - 4(1) + 5 = -2 - 4 + 5 = -1$. Точка $(1; -1)$.

Если $x=-2$, то $y = -2(-2)^2 - 4(-2) + 5 = -8 + 8 + 5 = 5$. Точка $(-2; 5)$.

Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в своей вершине. Наименьшего значения у функции не существует, так как её значения неограниченно убывают при $x \to \pm\infty$.

Наибольшее значение функции равно ординате вершины.

$y_{наиб} = 7$.

Ответ: Наибольшее значение функции: 7.

3) $y = 4 - \sqrt{x-2}$

Графиком данной функции является ветвь параболы. Сначала найдём область определения функции: выражение под знаком корня должно быть неотрицательным.

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$

Таким образом, область определения функции $D(y) = [2; +\infty)$.

График функции получается из графика $y=-\sqrt{x}$ путём сдвига на 2 единицы вправо по оси Ох и на 4 единицы вверх по оси Оу. Начало ветви параболы находится в точке $(2; y(2))$.

$y(2) = 4 - \sqrt{2-2} = 4 - 0 = 4$. Начальная точка графика — $(2; 4)$.

Найдём ещё несколько точек:

Если $x=3$, то $y = 4 - \sqrt{3-2} = 4 - 1 = 3$. Точка $(3; 3)$.

Если $x=6$, то $y = 4 - \sqrt{6-2} = 4 - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$. Точка $(6; 2)$.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение, определим область значений функции. Мы знаем, что $\sqrt{x-2} \ge 0$. Умножая на -1, получаем $-\sqrt{x-2} \le 0$. Прибавляя 4, имеем $4 - \sqrt{x-2} \le 4$. Таким образом, $y \le 4$.

Наибольшее значение функции равно 4 и достигается в начальной точке при $x=2$. Наименьшего значения не существует, так как ветвь уходит в минус бесконечность.

Ответ: Наибольшее значение функции: 4.

4) $y = -2 + \sqrt{3-x}$

Графиком данной функции является ветвь параболы. Найдём область определения функции:

$3 - x \ge 0 \implies x \le 3$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; 3]$.

График функции получается из графика $y=\sqrt{-x}$ путём сдвига на 3 единицы вправо по оси Ох и на 2 единицы вниз по оси Оу. Начало ветви параболы находится в точке $(3; y(3))$.

$y(3) = -2 + \sqrt{3-3} = -2 + 0 = -2$. Начальная точка графика — $(3; -2)$.

Найдём ещё несколько точек:

Если $x=2$, то $y = -2 + \sqrt{3-2} = -2 + 1 = -1$. Точка $(2; -1)$.

Если $x=-1$, то $y = -2 + \sqrt{3-(-1)} = -2 + \sqrt{4} = -2 + 2 = 0$. Точка $(-1; 0)$.

Определим область значений функции. Мы знаем, что $\sqrt{3-x} \ge 0$. Прибавляя -2, получаем $-2 + \sqrt{3-x} \ge -2$. Таким образом, $y \ge -2$.

Наименьшее значение функции равно -2 и достигается в начальной точке при $x=3$. Наибольшего значения не существует, так как ветвь уходит в плюс бесконечность.

Ответ: Наименьшее значение функции: -2.