Номер 21, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

21. 1) Значение суммы квадратов цифр положительного двузначного числа равно 13. Если от этого числа вычесть 9, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.

2) Некоторое положительное двузначное число на 9 больше значения суммы его цифр. Квадрат этого числа на 180 больше квадрата его цифры единиц. Найдите это число.

1) Пусть искомое положительное двузначное число представлено в виде $10x + y$, где $x$ — это цифра десятков, а $y$ — цифра единиц. Так как число двузначное, $x \in \{1, 2, ..., 9\}$ и $y \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Согласно первому условию, сумма квадратов цифр числа равна 13. Это можно записать в виде уравнения:

$x^2 + y^2 = 13$

Согласно второму условию, если от этого числа вычесть 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Число, записанное в обратном порядке, имеет вид $10y + x$. Составим второе уравнение:

$(10x + y) - 9 = 10y + x$

Упростим второе уравнение:

$10x - x + y - 10y = 9$

$9x - 9y = 9$

$x - y = 1$

Из этого уравнения выразим $x$: $x = y + 1$.

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$(y + 1)^2 + y^2 = 13$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$y^2 + 2y + 1 + y^2 = 13$

$2y^2 + 2y - 12 = 0$

Разделим все уравнение на 2:

$y^2 + y - 6 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна -1, а произведение равно -6. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.

Поскольку $y$ — это цифра, она не может быть отрицательной. Следовательно, единственное подходящее значение $y = 2$.

Теперь найдем $x$:

$x = y + 1 = 2 + 1 = 3$

Таким образом, искомое число — это 32.

Проверим: сумма квадратов цифр $3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$. Вычитание 9: $32 - 9 = 23$. Условия выполняются.

Ответ: 32

2) Пусть искомое положительное двузначное число равно $10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. $a \in \{1, ..., 9\}$, $b \in \{0, ..., 9\}$.

По первому условию, число на 9 больше значения суммы его цифр. Запишем это в виде уравнения:

$10a + b = (a + b) + 9$

Упростим это уравнение:

$10a + b - a - b = 9$

$9a = 9$

$a = 1$

Таким образом, мы нашли цифру десятков, она равна 1.

По второму условию, квадрат этого числа на 180 больше квадрата его цифры единиц. Составим второе уравнение:

$(10a + b)^2 = b^2 + 180$

Подставим в это уравнение найденное значение $a=1$:

$(10 \cdot 1 + b)^2 = b^2 + 180$

$(10 + b)^2 = b^2 + 180$

Раскроем скобки в левой части:

$100 + 20b + b^2 = b^2 + 180$

Вычтем $b^2$ из обеих частей уравнения:

$100 + 20b = 180$

Решим полученное линейное уравнение относительно $b$:

$20b = 180 - 100$

$20b = 80$

$b = \frac{80}{20}$

$b = 4$

Мы нашли цифру единиц, она равна 4.

Искомое число состоит из цифры десятков $a=1$ и цифры единиц $b=4$, то есть это число 14.

Проверим: сумма цифр $1+4=5$. Число 14 больше 5 на 9 ($14 = 5+9$). Квадрат числа $14^2 = 196$. Квадрат цифры единиц $4^2 = 16$. Разница $196 - 16 = 180$. Условия выполняются.

Ответ: 14