Номер 17, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

17. Найдите значение суммы целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств:

1)

$ \begin{cases} |2x-5| \le 1, \\ x^2+2x > 0; \end{cases} $

2)

$ \begin{cases} |x-4| \le 2, \\ -x^2+5x > 0. \end{cases} $

1) Для решения системы неравенств $\begin{cases} |2x-5|\le1, \\ x^2+2x > 0; \end{cases}$ решим каждое неравенство отдельно.

Сначала решим первое неравенство: $|2x-5|\le1$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-1 \le 2x-5 \le 1$

Прибавим ко всем частям 5:

$-1+5 \le 2x \le 1+5$

$4 \le 2x \le 6$

Разделим все части на 2:

$2 \le x \le 3$

Решением первого неравенства является промежуток $x \in [2, 3]$.

Теперь решим второе неравенство: $x^2+2x > 0$.

Разложим левую часть на множители:

$x(x+2) > 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x+2)=0$, это $x_1=0$ и $x_2=-2$.

Графиком функции $y=x^2+2x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции больше нуля при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решением второго неравенства является объединение промежутков $(-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общую часть промежутков $[2, 3]$ и $(-\infty, -2) \cup (0, +\infty)$.

Пересечением является промежуток $[2, 3]$.

Целые числа, которые удовлетворяют этому условию, это 2 и 3.

Найдем их сумму:

$2 + 3 = 5$

Ответ: 5

2) Для решения системы неравенств $\begin{cases} |x-4|\le2, \\ -x^2+5x > 0. \end{cases}$ решим каждое неравенство отдельно.

Сначала решим первое неравенство: $|x-4|\le2$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-2 \le x-4 \le 2$

Прибавим ко всем частям 4:

$-2+4 \le x \le 2+4$

$2 \le x \le 6$

Решением первого неравенства является промежуток $x \in [2, 6]$.

Теперь решим второе неравенство: $-x^2+5x > 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2-5x < 0$

Разложим левую часть на множители:

$x(x-5) < 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x-5)=0$, это $x_1=0$ и $x_2=5$.

Графиком функции $y=x^2-5x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля между корнями.

Таким образом, решением второго неравенства является промежуток $(0, 5)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств, то есть общую часть промежутков $[2, 6]$ и $(0, 5)$.

Пересечением является промежуток $[2, 5)$.

Целые числа, которые принадлежат этому промежутку: 2, 3, 4.

Найдем их сумму:

$2 + 3 + 4 = 9$

Ответ: 9