Номер 13, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*13. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ |x| + y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} |x| + |y| = 3, \\ |x| + y^2 = 5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} |x| + |y| = 2, \\ xy - 1 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} |x| + |y| = 5, \\ x^2 + y^2 = 13. \end{cases}$

1)Дана система уравнений:$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ |x| + y = 1 \end{cases} $Из второго уравнения выразим $y$: $y = 1 - |x|$.Так как $y^2$ присутствует в первом уравнении, а $|x|$ во втором, и мы знаем, что $x^2 = |x|^2$, удобно сделать замену.Пусть $a = |x|$, где $a \ge 0$.Подставим $y = 1 - a$ в первое уравнение, заменив $x^2$ на $a^2$:$a^2 + (1 - a)^2 = 5$$a^2 + 1 - 2a + a^2 = 5$$2a^2 - 2a - 4 = 0$Разделим уравнение на 2:$a^2 - a - 2 = 0$Решим это квадратное уравнение относительно $a$. По теореме Виета, корни уравнения:$a_1 = 2$ и $a_2 = -1$.Так как $a = |x|$, то $a$ не может быть отрицательным. Следовательно, подходит только $a = 2$.$|x| = 2$, откуда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.Теперь найдем соответствующее значение $y$ для каждого $x$. Мы используем выражение $y = 1 - |x|$:$y = 1 - 2 = -1$.Это значение $y$ одинаково для обоих значений $x$.Таким образом, мы получили две пары решений: $(2, -1)$ и $(-2, -1)$.Проверим решения:Для $(2, -1)$:$2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$$|2| + (-1) = 2 - 1 = 1$Для $(-2, -1)$:$(-2)^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$$|-2| + (-1) = 2 - 1 = 1$Обе пары являются решениями системы.

Ответ: $(2, -1)$, $(-2, -1)$.

2)Дана система уравнений:$ \begin{cases} |x| + |y| = 3 \\ |x| + y^2 = 5 \end{cases} $Заметим, что $y^2 = |y|^2$. Сделаем замену переменных: пусть $a = |x|$ и $b = |y|$. Так как модуль числа не может быть отрицательным, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.Система примет вид:$ \begin{cases} a + b = 3 \\ a + b^2 = 5 \end{cases} $Из первого уравнения выразим $a$: $a = 3 - b$.Подставим это выражение во второе уравнение:$(3 - b) + b^2 = 5$$b^2 - b - 2 = 0$Решим квадратное уравнение относительно $b$:$b_1 = 2$ и $b_2 = -1$.Так как $b = |y|$, то $b \ge 0$, поэтому подходит только $b = 2$.Итак, $|y| = 2$, что дает два значения для $y$: $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.Теперь найдем $a$, используя $a = 3 - b$:$a = 3 - 2 = 1$.$|x| = 1$, что дает два значения для $x$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.Комбинируя все возможные значения $x$ и $y$, получаем четыре пары решений: $(1, 2)$, $(1, -2)$, $(-1, 2)$, $(-1, -2)$.

Ответ: $(1, 2)$, $(1, -2)$, $(-1, 2)$, $(-1, -2)$.

3)Дана система уравнений:$ \begin{cases} |x| + |y| = 2 \\ xy - 1 = 0 \end{cases} $Из второго уравнения следует, что $xy = 1$. Это означает, что $x$ и $y$ не равны нулю и имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные).Рассмотрим два случая.Случай 1: $x > 0$ и $y > 0$.В этом случае $|x| = x$ и $|y| = y$. Система уравнений принимает вид:$ \begin{cases} x + y = 2 \\ xy = 1 \end{cases} $Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 2t + 1 = 0$.Это уравнение можно записать как $(t - 1)^2 = 0$, у которого есть единственный корень $t = 1$.Следовательно, $x = 1$ и $y = 1$. Это решение $(1, 1)$ удовлетворяет условиям $x>0, y>0$.Случай 2: $x < 0$ и $y < 0$.В этом случае $|x| = -x$ и $|y| = -y$. Система уравнений принимает вид:$ \begin{cases} -x - y = 2 \\ xy = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x + y = -2 \\ xy = 1 \end{cases} $Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-2)t + 1 = 0$, то есть $t^2 + 2t + 1 = 0$.Это уравнение можно записать как $(t + 1)^2 = 0$, у которого есть единственный корень $t = -1$.Следовательно, $x = -1$ и $y = -1$. Это решение $(-1, -1)$ удовлетворяет условиям $x<0, y<0$.Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1, 1)$, $(-1, -1)$.

4)Дана система уравнений:$ \begin{cases} |x| + |y| = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $Так как $x^2 = |x|^2$ и $y^2 = |y|^2$, можно сделать замену: $a = |x|$ и $b = |y|$, где $a \ge 0, b \ge 0$.Система преобразуется к виду:$ \begin{cases} a + b = 5 \\ a^2 + b^2 = 13 \end{cases} $Воспользуемся тождеством $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2