Номер 13, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*13. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ |x| + y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} |x| + |y| = 3, \\ |x| + y^2 = 5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} |x| + |y| = 2, \\ xy - 1 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} |x| + |y| = 5, \\ x^2 + y^2 = 13. \end{cases}$

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ |x| + y = 1 \end{cases}$

• Выразим $y$ из второго уравнения: $y = 1 - |x|$.
• Подставим в первое уравнение: $x^2 + (1 - |x|)^2 = 5$.
• Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Пусть $|x| = t$, где $t \ge 0$.
• $t^2 + (1 - t)^2 = 5 \Rightarrow t^2 + 1 - 2t + t^2 = 5 \Rightarrow 2t^2 - 2t - 4 = 0 \Rightarrow t^2 - t - 2 = 0$.
• Корни: $t_1 = 2$, $t_2 = -1$ (не подходит, т.к. $t \ge 0$).
• Вернемся к переменной $x$: $|x| = 2 \Rightarrow x = 2$ или $x = -2$.
• Найдем $y$: если $|x|=2$, то $y = 1 - 2 = -1$.

Ответ: $(2; -1), (-2; -1)$.

2) $\begin{cases} |x| + |y| = 3 \\ |x| + y^2 = 5 \end{cases}$

• Выразим $|x|$ из первого уравнения: $|x| = 3 - |y|$.
• Подставим во второе: $(3 - |y|) + y^2 = 5$. Так как $y^2 = |y|^2$, получим: $|y|^2 - |y| - 2 = 0$.
• Пусть $|y| = t \ge 0$. Тогда $t^2 - t - 2 = 0 \Rightarrow t_1 = 2, t_2 = -1$ (не подходит).
• Следовательно, $|y| = 2 \Rightarrow y = 2$ или $y = -2$.
• Найдем $|x|$: $|x| = 3 - 2 = 1 \Rightarrow x = 1$ или $x = -1$.

Ответ: $(1; 2), (1; -2), (-1; 2), (-1; -2)$.

3) $\begin{cases} |x| + |y| = 2 \\ xy - 1 = 0 \Rightarrow xy = 1 \end{cases}$

• Из $xy=1$ следует, что $x$ и $y$ имеют одинаковый знак.
• Случай 1: $x>0, y>0$. Тогда $x+y=2$ и $xy=1$. Это система для чисел 1 и 1. Решение: $(1; 1)$.
• Случай 2: $x<0, y<0$. Тогда $-x-y=2 \Rightarrow x+y=-2$ и $xy=1$. Это система для чисел -1 и -1. Решение: $(-1; -1)$.

Ответ: $(1; 1), (-1; -1)$.

4) $\begin{cases} |x| + |y| = 5 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}$

• Возведем первое уравнение в квадрат: $(|x| + |y|)^2 = 25 \Rightarrow x^2 + 2|xy| + y^2 = 25$.
• Подставим $x^2 + y^2 = 13$: $13 + 2|xy| = 25 \Rightarrow 2|xy| = 12 \Rightarrow |xy| = 6$.
• Получаем систему: $|x| + |y| = 5$ и $|x| \cdot |y| = 6$. По теореме Виета для модуля это числа 2 и 3.
• Возможные значения: $\{|x|=2, |y|=3\}$ или $\{|x|=3, |y|=2\}$.

Ответ: $(2; 3), (2; -3), (-2; 3), (-2; -3), (3; 2), (3; -2), (-3; 2), (-3; -2)$.