Номер 7, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

1) $\frac{x + 3}{x - 7} \le 0;$ 2) $\frac{12 - 3x}{x - 2} \ge 0;$ 3) $\frac{5 - 2x}{3x + 13} > 0;$

4) $\frac{x^2 - 121}{x + 1} \ge 0;$ 5) $\frac{x^2 - 12x}{x - 2,5} \ge 0;$ 6) $\frac{8x - x^2}{x + 6} \le 0.$

1) $\frac{x+3}{x-7} \le 0$

Для решения этого дробно-рационального неравенства используем метод интервалов.

Сначала найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x + 3 = 0 \implies x = -3$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка будет включена в решение.

Нуль знаменателя: $x - 7 = 0 \implies x = 7$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому эта точка всегда исключается из решения (выкалывается).

Нанесем эти точки на числовую ось, отметив $x=-3$ закрашенным кружком, а $x=7$ — выколотым.

Определим знаки выражения на полученных интервалах:

- При $x > 7$ (например, $x=8$): $\frac{8+3}{8-7} = 11 > 0$ (знак +).

- При $-3 < x < 7$ (например, $x=0$): $\frac{0+3}{0-7} = -\frac{3}{7} < 0$ (знак -).

- При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{-4+3}{-4-7} = \frac{-1}{-11} > 0$ (знак +).

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю. Это интервал, где стоит знак "минус", включая точку, где числитель равен нулю.

Решение неравенства: $x \in [-3, 7)$.

Наименьшим целым числом в этом промежутке является -3.

Ответ: -3

2) $\frac{12-3x}{x-2} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов.

Нули числителя и знаменателя:

$12 - 3x = 0 \implies 3x = 12 \implies x = 4$. Точка включается в решение ($\ge$).

$x - 2 = 0 \implies x = 2$. Точка исключается из решения.

Чтобы было удобнее определять знаки, преобразуем числитель так, чтобы коэффициент при $x$ был положительным: $\frac{-3(x-4)}{x-2} \ge 0$.

Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства на противоположный: $\frac{x-4}{x-2} \le 0$.

Теперь нанесем точки $x=2$ (выколотая) и $x=4$ (закрашенная) на числовую ось и определим знаки для преобразованного выражения:

- При $x > 4$: знак +.

- При $2 < x < 4$: знак -.

- При $x < 2$: знак +.

Нам нужны значения, где выражение меньше или равно нулю. Это промежуток $x \in (2, 4]$.

Целые числа, входящие в этот промежуток: 3, 4. Наименьшее из них — 3.

Ответ: 3

3) $\frac{5-2x}{3x+13} > 0$

Используем метод интервалов. Неравенство строгое ($>$), поэтому все точки будут выколотыми.

Нули числителя и знаменателя:

$5 - 2x = 0 \implies 2x = 5 \implies x = 2,5$.

$3x + 13 = 0 \implies 3x = -13 \implies x = -\frac{13}{3} \approx -4,33$.

Нанесем точки $x = -13/3$ и $x = 2,5$ на числовую ось.

Определим знаки выражения на интервалах:

- При $x > 2,5$ (например, $x=3$): $\frac{5-6}{9+13} = \frac{-1}{22} < 0$ (знак -).

- При $-\frac{13}{3} < x < 2,5$ (например, $x=0$): $\frac{5}{13} > 0$ (знак +).

- При $x < -\frac{13}{3}$ (например, $x=-5$): $\frac{5-2(-5)}{3(-5)+13} = \frac{15}{-2} < 0$ (знак -).

Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше нуля. Это интервал $x \in (-\frac{13}{3}, 2,5)$, или $x \in (-4\frac{1}{3}, 2,5)$.

Целые числа, входящие в этот промежуток: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2. Наименьшее из них — -4.

Ответ: -4

4) $\frac{x^2-121}{x+1} \ge 0$

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $\frac{(x-11)(x+11)}{x+1} \ge 0$.

Нули числителя и знаменателя:

$x-11 = 0 \implies x = 11$. Точка включается в решение.

$x+11 = 0 \implies x = -11$. Точка включается в решение.

$x+1 = 0 \implies x = -1$. Точка исключается.

Нанесем точки $-11$ (закрашенная), $-1$ (выколотая) и $11$ (закрашенная) на числовую ось.

Определим знаки выражения на интервалах:

- При $x > 11$: $(+)(+)/(+) = +$.

- При $-1 < x < 11$: $(-)(+)/(+) = -$.

- При $-11 < x < -1$: $(-)(+)/(-) = +$.

- При $x < -11$: $(-)(-)/(-) = -$.

Нам нужны промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это объединение промежутков: $x \in [-11, -1) \cup [11, \infty)$.

Наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, находится в первом промежутке. Это -11.

Ответ: -11

5) $\frac{x^2-12x}{x-2,5} \ge 0$

Разложим числитель на множители: $\frac{x(x-12)}{x-2,5} \ge 0$.

Нули числителя и знаменателя:

$x = 0$. Точка включается в решение.

$x-12 = 0 \implies x = 12$. Точка включается в решение.

$x-2,5 = 0 \implies x = 2,5$. Точка исключается.

Нанесем точки $0$ (закрашенная), $2,5$ (выколотая) и $12$ (закрашенная) на числовую ось.

Определим знаки выражения на интервалах:

- При $x > 12$: $(+)(+)/(+) = +$.

- При $2,5 < x < 12$: $(+)(-)/(+) = -$.

- При $0 < x < 2,5$: $(+)(-)/(-) = +$.

- При $x < 0$: $(-)(-)/(-) = -$.

Нам нужны промежутки, где выражение больше или равно нулю: $x \in [0, 2,5) \cup [12, \infty)$.

Целые числа в первом промежутке: 0, 1, 2. Целые числа во втором: 12, 13, ... . Наименьшее целое число из всего решения — 0.

Ответ: 0

6) $\frac{8x-x^2}{x+6} \le 0$

Разложим числитель на множители и преобразуем для удобства: $\frac{x(8-x)}{x+6} \le 0 \implies \frac{-x(x-8)}{x+6} \le 0$.

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $\frac{x(x-8)}{x+6} \ge 0$.

Теперь решим это эквивалентное неравенство методом интервалов.

Нули выражений:

$x = 0$. Точка включается в решение (т.к. исходное неравенство нестрогое).

$x - 8 = 0 \implies x = 8$. Точка включается.

$x + 6 = 0 \implies x = -6$. Точка исключается.

Нанесем точки $-6$ (выколотая), $0$ (закрашенная) и $8$ (закрашенная) на числовую ось.

Определим знаки для выражения $\frac{x(x-8)}{x+6}$:

- При $x > 8$: $(+)(+)/(+) = +$.

- При $0 < x < 8$: $(+)(-)/(+) = -$.

- При $-6 < x < 0$: $(-)(-)/(+) = +$.

- При $x < -6$: $(-)(-)/(-) = -$.

Нам нужны промежутки, где выражение больше или равно нулю: $x \in (-6, 0] \cup [8, \infty)$.

Целые числа в первом промежутке: -5, -4, -3, -2, -1, 0. Наименьшее целое число из всего решения — -5.

Ответ: -5