Номер 1, страница 4, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Упростите выражение:

1) $\frac{14p^4}{5q^3} \cdot \frac{15q^2(p-5)^2}{21p^2} : \frac{3p^2}{2q^6};$

2) $\frac{25a^2(b-1)}{3^2d} : \frac{5cd^3}{27ab} : \frac{a^3(b-1)}{c^3d};$

3) $\frac{24x^5y^4}{13ab^2} : \frac{4xy^2}{13a^2b} : \frac{3x^2(y-2)}{a^2b};$

4) $a^4 \cdot \left(\frac{3a+b}{a} - 3\right)^2 + b^4 \cdot \left(\frac{a-2b}{b} + 2\right)^2 - 2(ab)^2;$

5) $3 + \left(\frac{28c}{c^2 - 49} + \frac{c-7}{c+7}\right) \cdot \frac{c}{c+7} - \frac{c}{c-7};$

6) $4.5 + \frac{25x^2 - 4^{-1}}{5x + 2^{-1}} - 3x;$

7) $3.5 + \frac{9x^2 - 4^{-1}}{3x - 2^{-1}} - 2(x-1);$

8) $\frac{2a-2}{a-2} + 1 - \left(\frac{8a}{a^2-4} + \frac{a-2}{a+2}\right) \cdot \frac{a}{a+2};$

1) Исходное выражение:

$ \frac{14p^4}{5q^3} \cdot \frac{15q^2(p-5)^2}{21p^2} : \frac{3p^2}{2q^6} $

Заменим деление на умножение, перевернув последнюю дробь:

$ \frac{14p^4}{5q^3} \cdot \frac{15q^2(p-5)^2}{21p^2} \cdot \frac{2q^6}{3p^2} $

Соберем все в одну дробь и сгруппируем числовые коэффициенты и переменные:

$ \frac{14 \cdot 15 \cdot 2 \cdot p^4 \cdot q^2 \cdot q^6 \cdot (p-5)^2}{5 \cdot 21 \cdot 3 \cdot q^3 \cdot p^2 \cdot p^2} = \frac{(2 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 5) \cdot 2}{5 \cdot (3 \cdot 7) \cdot 3} \cdot \frac{p^4}{p^{2+2}} \cdot \frac{q^{2+6}}{q^3} \cdot (p-5)^2 $

Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{420}{315} = \frac{4 \cdot 105}{3 \cdot 105} = \frac{4}{3} $.

Сократим степени $ p $: $ \frac{p^4}{p^4} = 1 $.

Сократим степени $ q $: $ \frac{q^8}{q^3} = q^{8-3} = q^5 $.

Собираем все вместе:

$ \frac{4}{3} \cdot 1 \cdot q^5 \cdot (p-5)^2 = \frac{4q^5(p-5)^2}{3} $

Ответ: $ \frac{4q^5(p-5)^2}{3} $

2) Исходное выражение: $ \frac{25a^2(b-1)}{3^2d} : \frac{5cd^3}{27ab} : \frac{a^3(b-1)}{c^3d} $

Заменим деление на умножение, перевернув дроби:

$ \frac{25a^2(b-1)}{9d} \cdot \frac{27ab}{5cd^3} \cdot \frac{c^3d}{a^3(b-1)} $

Соберем все в одну дробь:

$ \frac{25 \cdot 27 \cdot a^2 \cdot a \cdot b \cdot c^3 \cdot d \cdot (b-1)}{9 \cdot 5 \cdot a^3 \cdot c \cdot d \cdot d^3 \cdot (b-1)} $

Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{25 \cdot 27}{9 \cdot 5} = 5 \cdot 3 = 15 $.

Сократим переменные:

$ \frac{a^3}{a^3} = 1 $

$ \frac{c^3}{c} = c^2 $

$ \frac{d}{d^4} = \frac{1}{d^3} $

$ \frac{b-1}{b-1} = 1 $

Собираем все вместе:

$ 15 \cdot b \cdot c^2 \cdot \frac{1}{d^3} = \frac{15bc^2}{d^3} $

Ответ: $ \frac{15bc^2}{d^3} $

3) Исходное выражение: $ \frac{24x^5y^4}{13ab^2} : \frac{4xy^2}{13a^2b} : \frac{3x^2(y-2)}{a^2b} $

Заменим деление на умножение:

$ \frac{24x^5y^4}{13ab^2} \cdot \frac{13a^2b}{4xy^2} \cdot \frac{a^2b}{3x^2(y-2)} $

Соберем все в одну дробь:

$ \frac{24 \cdot 13 \cdot x^5y^4 \cdot a^2b \cdot a^2b}{13 \cdot 4 \cdot 3 \cdot ab^2 \cdot xy^2 \cdot x^2(y-2)} = \frac{24 \cdot 13 \cdot x^5y^4a^4b^2}{12 \cdot 13 \cdot ab^2x^3y^2(y-2)} $

Сократим числовые коэффициенты и переменные:

$ \frac{24}{12} \cdot \frac{13}{13} \cdot \frac{a^4}{a} \cdot \frac{b^2}{b^2} \cdot \frac{x^5}{x^3} \cdot \frac{y^4}{y^2} \cdot \frac{1}{y-2} = 2 \cdot 1 \cdot a^3 \cdot 1 \cdot x^2 \cdot y^2 \cdot \frac{1}{y-2} $

Результат:

$ \frac{2a^3x^2y^2}{y-2} $

Ответ: $ \frac{2a^3x^2y^2}{y-2} $

4) Исходное выражение: $ a^4 \cdot (\frac{3a+b}{a} - 3)^2 + b^4 \cdot (\frac{a-2b}{b} + 2)^2 - 2(ab)^2 $

Упростим выражения в скобках.

Первая скобка: $ \frac{3a+b}{a} - 3 = \frac{3a+b-3a}{a} = \frac{b}{a} $.

Вторая скобка: $ \frac{a-2b}{b} + 2 = \frac{a-2b+2b}{b} = \frac{a}{b} $.

Подставим упрощенные выражения обратно:

$ a^4 \cdot (\frac{b}{a})^2 + b^4 \cdot (\frac{a}{b})^2 - 2(ab)^2 $

Раскроем скобки:

$ a^4 \cdot \frac{b^2}{a^2} + b^4 \cdot \frac{a^2}{b^2} - 2a^2b^2 $

Сократим дроби:

$ a^2b^2 + b^2a^2 - 2a^2b^2 $

Сложим подобные члены:

$ 2a^2b^2 - 2a^2b^2 = 0 $

Ответ: $ 0 $

5) Исходное выражение: $ 3 + (\frac{28c}{c^2-49} + \frac{c-7}{c+7}) \cdot \frac{c}{c+7} - \frac{c}{c-7} $

Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $ c^2-49 = (c-7)(c+7) $:

$ \frac{28c}{(c-7)(c+7)} + \frac{(c-7)(c-7)}{(c+7)(c-7)} = \frac{28c + c^2 - 14c + 49}{(c-7)(c+7)} = \frac{c^2+14c+49}{(c-7)(c+7)} $

Числитель является полным квадратом: $ c^2+14c+49 = (c+7)^2 $.

Выражение в скобках равно: $ \frac{(c+7)^2}{(c-7)(c+7)} = \frac{c+7}{c-7} $.

Подставим обратно в исходное выражение:

$ 3 + (\frac{c+7}{c-7}) \cdot \frac{c}{c+7} - \frac{c}{c-7} $

Выполним умножение:

$ 3 + \frac{c}{c-7} - \frac{c}{c-7} $

Вычтем дроби:

$ 3 + 0 = 3 $

Ответ: $ 3 $

6) Исходное выражение: $ 4,5 + \frac{25x^2 - 4^{-1}}{5x + 2^{-1}} - 3x $

Преобразуем степени: $ 4^{-1} = \frac{1}{4} $ и $ 2^{-1} = \frac{1}{2} $.

$ 4,5 + \frac{25x^2 - \frac{1}{4}}{5x + \frac{1}{2}} - 3x $

Разложим числитель дроби по формуле разности квадратов $ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $:

$ 25x^2 - \frac{1}{4} = (5x)^2 - (\frac{1}{2})^2 = (5x - \frac{1}{2})(5x + \frac{1}{2}) $

Подставим в дробь и сократим:

$ \frac{(5x - \frac{1}{2})(5x + \frac{1}{2})}{5x + \frac{1}{2}} = 5x - \frac{1}{2} $

Подставим обратно в выражение:

$ 4,5 + (5x - \frac{1}{2}) - 3x $

Заменим $ \frac{1}{2} $ на $ 0,5 $ и раскроем скобки:

$ 4,5 + 5x - 0,5 - 3x $

Сгруппируем и вычислим:

$ (4,5 - 0,5) + (5x - 3x) = 4 + 2x $

Ответ: $ 2x+4 $

7) Исходное выражение: $ 3,5 + \frac{9x^2 - 4^{-1}}{3x - 2^{-1}} - 2(x-1) $

Преобразуем степени: $ 4^{-1} = \frac{1}{4} $ и $ 2^{-1} = \frac{1}{2} $.

$ 3,5 + \frac{9x^2 - \frac{1}{4}}{3x - \frac{1}{2}} - 2(x-1) $

Разложим числитель дроби по формуле разности квадратов:

$ 9x^2 - \frac{1}{4} = (3x)^2 - (\frac{1}{2})^2 = (3x - \frac{1}{2})(3x + \frac{1}{2}) $

Подставим в дробь и сократим:

$ \frac{(3x - \frac{1}{2})(3x + \frac{1}{2})}{3x - \frac{1}{2}} = 3x + \frac{1}{2} $

Подставим обратно в выражение:

$ 3,5 + (3x + \frac{1}{2}) - 2(x-1) $

Заменим $ \frac{1}{2} $ на $ 0,5 $ и раскроем скобки:

$ 3,5 + 3x + 0,5 - 2x + 2 $

Сгруппируем и вычислим:

$ (3,5 + 0,5 + 2) + (3x - 2x) = 6 + x $

Ответ: $ x+6 $

8) Исходное выражение: $ \frac{2a-2}{a-2} + 1 - (\frac{8a}{a^2-4} + \frac{a-2}{a+2}) \cdot \frac{a}{a+2} $

Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель $ a^2-4 = (a-2)(a+2) $:

$ \frac{8a}{(a-2)(a+2)} + \frac{(a-2)(a-2)}{(a+2)(a-2)} = \frac{8a + a^2-4a+4}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2+4a+4}{(a-2)(a+2)} $

Числитель является полным квадратом $ (a+2)^2 $.

Выражение в скобках равно: $ \frac{(a+2)^2}{(a-2)(a+2)} = \frac{a+2}{a-2} $.

Подставим обратно в исходное выражение:

$ \frac{2a-2}{a-2} + 1 - (\frac{a+2}{a-2}) \cdot \frac{a}{a+2} $

Выполним умножение:

$ \frac{2a-2}{a-2} + 1 - \frac{a}{a-2} $

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$ \frac{(2a-2) - a}{a-2} + 1 = \frac{a-2}{a-2} + 1 $

Сократим дробь:

$ 1 + 1 = 2 $

Ответ: $ 2 $