Номер 5, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5. Решите с помощью графика квадратичной функции и методом интервалов неравенство:

1) $x^2 - 3x - 18 \ge 0$

2) $-5x^2 - 12x + 17 \le 0$

3) $6x^2 - 13x - 5 > 0$

1) $x^2 - 3x - 18 \geq 0$

Решение с помощью графика квадратичной функции:

Рассмотрим функцию $y = x^2 - 3x - 18$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс (осью Ox), решив уравнение $x^2 - 3x - 18 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 9}{2}$.

$x_1 = \frac{3 - 9}{2} = -3$

$x_2 = \frac{3 + 9}{2} = 6$

Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -3$ и $x = 6$. Так как ветви параболы направлены вверх, значения функции $y$ будут неотрицательными ($y \geq 0$) на промежутках, где график находится выше или на оси Ox. Это происходит при $x \leq -3$ и при $x \geq 6$.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [6, \infty)$.

Решение методом интервалов:

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$. Как мы уже выяснили, это $x_1 = -3$ и $x_2 = 6$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -3]$, $[-3, 6]$ и $[6, \infty)$. Так как неравенство нестрогое ($\geq$), точки включаются в решение.

Определим знак выражения $x^2 - 3x - 18$ в каждом интервале:

- В интервале $(-\infty, -3]$ возьмем тестовую точку $x = -4$: $(-4)^2 - 3(-4) - 18 = 16 + 12 - 18 = 10 > 0$. Знак «+».

- В интервале $[-3, 6]$ возьмем тестовую точку $x = 0$: $0^2 - 3(0) - 18 = -18 < 0$. Знак «-».

- В интервале $[6, \infty)$ возьмем тестовую точку $x = 7$: $7^2 - 3(7) - 18 = 49 - 21 - 18 = 10 > 0$. Знак «+».

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю, то есть интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup [6, \infty)$

2) $-5x^2 - 12x + 17 \leq 0$

Решение с помощью графика квадратичной функции:

Рассмотрим функцию $y = -5x^2 - 12x + 17$. Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-5$, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Найдем точки пересечения параболы с осью Ox, решив уравнение $-5x^2 - 12x + 17 = 0$. Умножим уравнение на $-1$ для удобства: $5x^2 + 12x - 17 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-17) = 144 + 340 = 484 = 22^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm 22}{2 \cdot 5} = \frac{-12 \pm 22}{10}$.

$x_1 = \frac{-12 - 22}{10} = \frac{-34}{10} = -3.4$

$x_2 = \frac{-12 + 22}{10} = \frac{10}{10} = 1$

Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -3.4$ и $x = 1$. Так как ветви параболы направлены вниз, значения функции $y$ будут неположительными ($y \leq 0$) на промежутках, где график находится ниже или на оси Ox. Это происходит при $x \leq -3.4$ и при $x \geq 1$.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -3.4] \cup [1, \infty)$.

Решение методом интервалов:

Найдем корни уравнения $-5x^2 - 12x + 17 = 0$. Корни: $x_1 = -3.4$ и $x_2 = 1$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -3.4]$, $[-3.4, 1]$ и $[1, \infty)$. Точки включаем, так как неравенство нестрогое ($\leq$).

Определим знак выражения $-5x^2 - 12x + 17$ в каждом интервале:

- В интервале $(-\infty, -3.4]$ возьмем тестовую точку $x = -4$: $-5(-4)^2 - 12(-4) + 17 = -5(16) + 48 + 17 = -80 + 65 = -15 < 0$. Знак «-».

- В интервале $[-3.4, 1]$ возьмем тестовую точку $x = 0$: $-5(0)^2 - 12(0) + 17 = 17 > 0$. Знак «+».

- В интервале $[1, \infty)$ возьмем тестовую точку $x = 2$: $-5(2)^2 - 12(2) + 17 = -5(4) - 24 + 17 = -20 - 24 + 17 = -27 < 0$. Знак «-».

Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю, то есть интервалы со знаком «-».

Ответ: $x \in (-\infty, -3.4] \cup [1, \infty)$

3) $6x^2 - 13x - 5 > 0$

Решение с помощью графика квадратичной функции:

Рассмотрим функцию $y = 6x^2 - 13x - 5$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $6 > 0$.

Найдем нули функции, решив уравнение $6x^2 - 13x - 5 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 169 + 120 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 17}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm 17}{12}$.

$x_1 = \frac{13 - 17}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

$x_2 = \frac{13 + 17}{12} = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2.5$

Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -1/3$ и $x = 2.5$. Ветви направлены вверх, поэтому функция принимает положительные значения ($y > 0$) на промежутках, где график находится строго выше оси Ox. Это происходит при $x < -1/3$ и при $x > 2.5$.

Таким образом, решение неравенства: $x \in (-\infty, -1/3) \cup (2.5, \infty)$.

Решение методом интервалов:

Корни уравнения $6x^2 - 13x - 5 = 0$ равны $x_1 = -1/3$ и $x_2 = 2.5$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty, -1/3)$, $(-1/3, 2.5)$ и $(2.5, \infty)$.

Определим знак выражения $6x^2 - 13x - 5$ в каждом интервале:

- В интервале $(-\infty, -1/3)$ возьмем тестовую точку $x = -1$: $6(-1)^2 - 13(-1) - 5 = 6 + 13 - 5 = 14 > 0$. Знак «+».

- В интервале $(-1/3, 2.5)$ возьмем тестовую точку $x = 0$: $6(0)^2 - 13(0) - 5 = -5 < 0$. Знак «-».

- В интервале $(2.5, \infty)$ возьмем тестовую точку $x = 3$: $6(3)^2 - 13(3) - 5 = 6(9) - 39 - 5 = 54 - 44 = 10 > 0$. Знак «+».

Нам нужны интервалы, где выражение строго больше нуля, то есть интервалы со знаком «+».

Ответ: $x \in (-\infty, -1/3) \cup (2.5, \infty)$