Номер 2, страница 4, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2. Решите уравнение:

1) $x^2 - 3(x-2) + 2x - 12 = 0;$

2) $3x^2 - 2(x^2 - 2x) + 2x - 11 = 5;$

3) $5x^2 - 3(x^2 + 2x) + 3x - 13 = 4;$

4) $x^2 - 4|x| + 2x - 7 = 1;$

5) $2x^2 - 3|x + 3| + 5x - 8 = 0;$

6) $4x^2 + 5|x-1| + 4x + 11 = 1.$

1) $x^2 - 3(x-2) + 2x - 12 = 0$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 - 3x + 6 + 2x - 12 = 0$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$x^2 + (-3x + 2x) + (6 - 12) = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

Мы получили стандартное квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта. Коэффициенты: $a=1, b=-1, c=-6$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Ответ: $-2; 3$.

2) $3x^2 - 2(x^2 - 2x) + 2x - 11 = 5$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$3x^2 - 2(x^2 - 2x) + 2x - 11 - 5 = 0$

$3x^2 - 2(x^2 - 2x) + 2x - 16 = 0$

Раскроем скобки:

$3x^2 - 2x^2 + 4x + 2x - 16 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(3x^2 - 2x^2) + (4x + 2x) - 16 = 0$

$x^2 + 6x - 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=1, b=6, c=-16$.

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Ответ: $-8; 2$.

3) $5x^2 - 3(x^2 + 2x) + 3x - 13 = 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$5x^2 - 3(x^2 + 2x) + 3x - 13 - 4 = 0$

$5x^2 - 3(x^2 + 2x) + 3x - 17 = 0$

Раскроем скобки:

$5x^2 - 3x^2 - 6x + 3x - 17 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(5x^2 - 3x^2) + (-6x + 3x) - 17 = 0$

$2x^2 - 3x - 17 = 0$

Решим квадратное уравнение. Коэффициенты: $a=2, b=-3, c=-17$.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-17) = 9 + 136 = 145$

$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{145}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{4}$

Ответ: $\frac{3 - \sqrt{145}}{4}; \frac{3 + \sqrt{145}}{4}$.

4) $x^2 - 4|x| + 2x - 7 = 1$

Перенесем 1 в левую часть: $x^2 - 4|x| + 2x - 8 = 0$. Уравнение содержит модуль, поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1: $x \ge 0$. В этом случае $|x| = x$.

$x^2 - 4x + 2x - 8 = 0$

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 4, x_2 = -2$. Проверяем условие $x \ge 0$. Корень $x=4$ подходит, а $x=-2$ не подходит.

Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x| = -x$.

$x^2 - 4(-x) + 2x - 8 = 0$

$x^2 + 4x + 2x - 8 = 0$

$x^2 + 6x - 8 = 0$

Решим через дискриминант: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$.

$x_{3,4} = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17}$

Проверяем условие $x < 0$. Корень $x_3 = -3 + \sqrt{17} > 0$ (так как $\sqrt{17} > \sqrt{9}=3$), он не подходит. Корень $x_4 = -3 - \sqrt{17} < 0$, он подходит.

Ответ: $-3 - \sqrt{17}; 4$.

5) $2x^2 - 3|x+3| + 5x - 8 = 0$

Уравнение содержит модуль $|x+3|$. Раскрываем его в двух случаях.

Случай 1: $x+3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$. Тогда $|x+3| = x+3$.

$2x^2 - 3(x+3) + 5x - 8 = 0$

$2x^2 - 3x - 9 + 5x - 8 = 0$

$2x^2 + 2x - 17 = 0$

$D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-17) = 4 + 136 = 140$.

$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{140}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{35}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{35}}{2}$.

Проверяем условие $x \ge -3$. Корень $x_1 = \frac{-1+\sqrt{35}}{2} \approx \frac{-1+5.9}{2} \approx 2.45$, что больше -3, значит, он подходит. Корень $x_2 = \frac{-1-\sqrt{35}}{2} \approx \frac{-1-5.9}{2} \approx -3.45$, что меньше -3, значит, он не подходит.

Случай 2: $x+3 < 0$, то есть $x < -3$. Тогда $|x+3| = -(x+3)$.

$2x^2 + 3(x+3) + 5x - 8 = 0$

$2x^2 + 3x + 9 + 5x - 8 = 0$

$2x^2 + 8x + 1 = 0$

$D = 8^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 64 - 8 = 56$.

$x_{3,4} = \frac{-8 \pm \sqrt{56}}{4} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{14}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{14}}{2}$.

Проверяем условие $x < -3$. Корень $x_3 = \frac{-4+\sqrt{14}}{2} \approx \frac{-4+3.7}{2} \approx -0.15$, что не меньше -3, не подходит. Корень $x_4 = \frac{-4-\sqrt{14}}{2} \approx \frac{-4-3.7}{2} \approx -3.85$, что меньше -3, подходит.

Ответ: $\frac{-4 - \sqrt{14}}{2}; \frac{-1 + \sqrt{35}}{2}$.

6) $4x^2 + 5|x-1| + 4x + 11 = 1$

Перенесем 1 в левую часть: $4x^2 + 5|x-1| + 4x + 10 = 0$. Раскрываем модуль $|x-1|$.

Случай 1: $x-1 \ge 0$, то есть $x \ge 1$. Тогда $|x-1| = x-1$.

$4x^2 + 5(x-1) + 4x + 10 = 0$

$4x^2 + 5x - 5 + 4x + 10 = 0$

$4x^2 + 9x + 5 = 0$

$D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 81 - 80 = 1$.

$x_1 = \frac{-9+1}{8}=-1$ и $x_2 = \frac{-9-1}{8}=-\frac{5}{4}$. Ни один из корней не удовлетворяет условию $x \ge 1$. Решений в этом случае нет.

Случай 2: $x-1 < 0$, то есть $x < 1$. Тогда $|x-1| = -(x-1) = 1-x$.

$4x^2 + 5(1-x) + 4x + 10 = 0$

$4x^2 + 5 - 5x + 4x + 10 = 0$

$4x^2 - x + 15 = 0$

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 15 = 1 - 240 = -239$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Поскольку ни в одном из случаев нет решений, уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.