Номер 8, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

8. Способом подстановки решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x + y = 7, \\ x^2 - y = 13; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x - y = 4, \\ x^2 + y = 14; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x - y = 7, \\ x^2 - 2y = 13; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 3x + 0,5y = 1,5, \\ x^2 - y = -12; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} x - y^2 = 1, \\ x - y = 3; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} xy + 7 = 0, \\ x - y + 8 = 0. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x+y=7, \\ x^2-y=13 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим y через x:

$y = 7 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^2 - (7 - x) = 13$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 + x - 7 = 13$

$x^2 + x - 20 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -5$.

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 7 - 4 = 3$.

Если $x_2 = -5$, то $y_2 = 7 - (-5) = 12$.

Ответ: $(4; 3), (-5; 12)$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x-y=4, \\ x^2+y=14 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим y:

$y = 3x - 4$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 + (3x - 4) = 14$

Решим полученное уравнение:

$x^2 + 3x - 4 - 14 = 0$

$x^2 + 3x - 18 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -6$.

Найдем соответствующие значения y:

При $x_1 = 3$, $y_1 = 3(3) - 4 = 9 - 4 = 5$.

При $x_2 = -6$, $y_2 = 3(-6) - 4 = -18 - 4 = -22$.

Ответ: $(3; 5), (-6; -22)$.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x-y=7, \\ x^2-2y=13 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим y:

$y = x - 7$

Подставим во второе уравнение:

$x^2 - 2(x - 7) = 13$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$x^2 - 2x + 14 = 13$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это формула квадрата разности: $(x - 1)^2 = 0$.

Отсюда $x = 1$.

Найдем соответствующее значение y:

$y = 1 - 7 = -6$.

Ответ: $(1; -6)$.

4) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x+0,5y=1,5, \\ x^2-y=-12 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим y:

$y = x^2 + 12$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3x + 0,5(x^2 + 12) = 1,5$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$6x + (x^2 + 12) = 3$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 6x + 12 - 3 = 0$

$x^2 + 6x + 9 = 0$

Это формула квадрата суммы: $(x + 3)^2 = 0$.

Отсюда $x = -3$.

Найдем соответствующее значение y:

$y = (-3)^2 + 12 = 9 + 12 = 21$.

Ответ: $(-3; 21)$.

5) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x-y^2=1, \\ x-y=3 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим x:

$x = y + 3$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(y + 3) - y^2 = 1$

Перенесем все члены в одну сторону и упорядочим их:

$-y^2 + y + 3 - 1 = 0$

$-y^2 + y + 2 = 0$

Умножим уравнение на -1:

$y^2 - y - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения x:

При $y_1 = 2$, $x_1 = 2 + 3 = 5$.

При $y_2 = -1$, $x_2 = -1 + 3 = 2$.

Ответ: $(5; 2), (2; -1)$.

6) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy+7=0, \\ x-y+8=0 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим x:

$x = y - 8$

Подставим полученное выражение в первое уравнение:

$(y - 8)y + 7 = 0$

Раскроем скобки и решим квадратное уравнение относительно y:

$y^2 - 8y + 7 = 0$

Корни этого уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = 7$.

Найдем соответствующие значения x:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 - 8 = -7$.

Если $y_2 = 7$, то $x_2 = 7 - 8 = -1$.

Ответ: $(-7; 1), (-1; 7)$.