Номер 18, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

18. 1) Поезд должен был пройти 220 км за определенное время, однако через два часа он был задержан на 10 минут. Чтобы прийти вовремя на станцию назначения, машинист увеличил скорость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.

2) Путь длиной 240 км между пунктами А и В автомобиль прошел с постоянной скоростью. Возвращаясь обратно, он прошел половину пути с той же скоростью, затем увеличил скорость на 10 км/ч. В результате на обратный путь было затрачено на 24 мин меньше, чем на путь от А до В. С какой скоростью ехал автомобиль из пункта А в пункт В?

3) Поезд шел со скоростью 40 км/ч. Пассажир заметил, что встречный поезд прошел мимо него за 3 с. Найдите скорость встречного поезда, если его длина равна 75 м.

1) Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость поезда. Общее расстояние составляет 220 км. Планируемое время на весь путь равно $\frac{220}{v}$ часов.

За первые 2 часа поезд проехал расстояние $S_1 = 2 \cdot v$ км.Оставшееся расстояние, которое нужно было проехать: $S_2 = 220 - 2v$ км.

Планируемое время на оставшуюся часть пути составляло $t_{план.ост} = \frac{220}{v} - 2$ часа.

Поезд был задержан на 10 минут, что составляет $\frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ часа.Следовательно, время, за которое нужно было проехать оставшийся путь, чтобы прибыть вовремя, сократилось на время задержки:$t_{факт.ост} = t_{план.ост} - \frac{1}{6} = (\frac{220}{v} - 2) - \frac{1}{6}$ часа.

Чтобы успеть, машинист увеличил скорость на 5 км/ч, и она стала равной $v + 5$ км/ч.Время, затраченное на оставшийся путь с новой скоростью, равно $\frac{S_2}{v_{новая}} = \frac{220 - 2v}{v + 5}$ часа.

Приравняем фактическое время, затраченное на оставшийся путь, с временем, которое было в распоряжении после задержки:

$\frac{220 - 2v}{v + 5} = \frac{220}{v} - 2 - \frac{1}{6}$

$\frac{220 - 2v}{v + 5} = \frac{220}{v} - \frac{13}{6}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{220 - 2v}{v + 5} = \frac{1320 - 13v}{6v}$

Воспользуемся свойством пропорции:

$6v(220 - 2v) = (v + 5)(1320 - 13v)$

$1320v - 12v^2 = 1320v - 13v^2 + 6600 - 65v$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$1320v - 12v^2 - 1320v + 13v^2 - 6600 + 65v = 0$

$v^2 + 65v - 6600 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 65^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6600) = 4225 + 26400 = 30625$

$\sqrt{D} = \sqrt{30625} = 175$

$v_1 = \frac{-65 + 175}{2} = \frac{110}{2} = 55$

$v_2 = \frac{-65 - 175}{2} = \frac{-240}{2} = -120$

Так как скорость не может быть отрицательной, первоначальная скорость поезда была 55 км/ч.

Ответ: 55 км/ч.

2) Пусть $v$ км/ч — постоянная скорость автомобиля на пути из пункта А в пункт В.Время, затраченное на путь из А в В: $t_{AB} = \frac{240}{v}$ часа.

На обратном пути автомобиль проехал первую половину пути (120 км) со скоростью $v$ км/ч. Время, затраченное на этот участок: $t_1 = \frac{120}{v}$ часа.

Вторую половину пути (120 км) он проехал со скоростью $v + 10$ км/ч. Время, затраченное на этот участок: $t_2 = \frac{120}{v + 10}$ часа.

Общее время на обратный путь: $t_{BA} = t_1 + t_2 = \frac{120}{v} + \frac{120}{v + 10}$ часа.

Из условия известно, что на обратный путь было затрачено на 24 минуты меньше. Переведем минуты в часы: $24 \text{ мин} = \frac{24}{60} \text{ ч} = \frac{2}{5}$ часа.

Составим уравнение, исходя из того, что $t_{AB} - t_{BA} = \frac{2}{5}$:

$\frac{240}{v} - \left( \frac{120}{v} + \frac{120}{v+10} \right) = \frac{2}{5}$

$\frac{240}{v} - \frac{120}{v} - \frac{120}{v+10} = \frac{2}{5}$

$\frac{120}{v} - \frac{120}{v+10} = \frac{2}{5}$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$\frac{60}{v} - \frac{60}{v+10} = \frac{1}{5}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{60(v+10) - 60v}{v(v+10)} = \frac{1}{5}$

$\frac{60v + 600 - 60v}{v^2 + 10v} = \frac{1}{5}$

$\frac{600}{v^2 + 10v} = \frac{1}{5}$

По свойству пропорции:

$v^2 + 10v = 600 \cdot 5$

$v^2 + 10v - 3000 = 0$

Решим квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 100 + 12000 = 12100$

$\sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110$

$v_1 = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$v_2 = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Скорость не может быть отрицательной, следовательно, скорость автомобиля из А в В была 50 км/ч.

Ответ: 50 км/ч.

3) Данная задача решается с использованием понятия относительной скорости. Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их относительная скорость равна сумме их скоростей.

Пусть $v_1$ — скорость поезда с пассажиром, а $v_2$ — искомая скорость встречного поезда.$v_1 = 40$ км/ч.Относительная скорость сближения поездов: $v_{отн} = v_1 + v_2 = 40 + v_2$ км/ч.

Для пассажира встречный поезд, имеющий длину $L$, проходит мимо него за время $t$. Это означает, что за время $t$ поезд проходит расстояние, равное своей длине $L$, с относительной скоростью $v_{отн}$.

Переведем все величины в единую систему измерений (километры и часы):

Длина встречного поезда: $L = 75 \text{ м} = 0,075$ км.Время прохождения: $t = 3 \text{ с} = \frac{3}{3600} \text{ ч} = \frac{1}{1200}$ ч.

Теперь найдем относительную скорость из формулы $v_{отн} = \frac{L}{t}$:

$v_{отн} = \frac{0,075 \text{ км}}{1/1200 \text{ ч}} = 0,075 \cdot 1200 = 90$ км/ч.

Зная относительную скорость, найдем скорость второго поезда:

$v_{отн} = v_1 + v_2$

$90 = 40 + v_2$

$v_2 = 90 - 40 = 50$ км/ч.

Ответ: 50 км/ч.