Номер 22, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22. Постройте график и укажите множество значений функции:

1) $y = \begin{cases} x+3, \text{ если } x < -2, \\ x^2-3, \text{ если } x \ge -2; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} 2x-2, \text{ если } x < -1, \\ x^2-1, \text{ если } x \ge -1; \end{cases}$

3) $y = 3\sqrt{x-2};$

4) $y = 3-\sqrt{x};$

5) $y = x^2+2|x|;$

6) $y = -x^2+4|x|;$

7) $y = 3x-x \cdot |x|;$

8) $y = x \cdot |x|-2x.$

1) $y = \begin{cases} x+3, & \text{если } x < -2 \\ x^2-3, & \text{если } x \ge -2 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух частей.

Первая часть – это график функции $y=x+3$ для $x < -2$. Это луч прямой. Для построения найдем координаты граничной точки (она будет выколотой): при $x=-2$, $y=-2+3=1$. Точка $(-2; 1)$. Возьмем еще одну точку, например, при $x=-4$, $y=-4+3=-1$. Точка $(-4; -1)$.

Вторая часть – это график функции $y=x^2-3$ для $x \ge -2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; -3)$. Поскольку $0 > -2$, вершина принадлежит этой части графика. Значение в граничной точке: при $x=-2$, $y=(-2)^2-3=1$. Точка $(-2; 1)$ закрашенная.

График функции непрерывен, так как в точке $x=-2$ обе части сходятся в точке $(-2; 1)$. График представляет собой луч, переходящий в параболу.Для нахождения множества значений (области значений) функции проанализируем её поведение. На промежутке $(-\infty; -2)$ функция возрастает от $-\infty$ до $1$. На промежутке $[-2; +\infty)$ функция сначала убывает от $y=1$ до своего минимума в вершине $y=-3$ (при $x=0$), а затем возрастает до $+\infty$. Объединяя значения, которые принимает функция на этих участках, $(-\infty; 1) \cup [-3; +\infty)$, мы видим, что функция принимает все действительные значения.

Ответ: множество значений функции $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

2) $y = \begin{cases} 2x-2, & \text{если } x < -1 \\ x^2-1, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$

График этой функции также состоит из двух частей.

Первая часть – это график функции $y=2x-2$ для $x < -1$. Это луч прямой. Граничная точка (выколотая): при $x=-1$, $y=2(-1)-2=-4$. Точка $(-1; -4)$. Другая точка: при $x=-2$, $y=2(-2)-2=-6$. Точка $(-2; -6)$.

Вторая часть – это график функции $y=x^2-1$ для $x \ge -1$. Это часть параболы с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; -1)$. Поскольку $0 \ge -1$, вершина принадлежит графику. Значение в граничной точке (закрашенная): при $x=-1$, $y=(-1)^2-1=0$. Точка $(-1; 0)$.

В точке $x=-1$ функция имеет разрыв. График состоит из луча, идущего до точки $(-1; -4)$ (не включая ее), и части параболы, начинающейся в точке $(-1; 0)$.Множество значений для первой части ($x<-1$): так как $y=2x-2$ возрастает, а $x<-1$, то $2x<-2$, и $2x-2<-4$. Значения $y \in (-\infty; -4)$.Множество значений для второй части ($x \ge -1$): минимум функции достигается в вершине $(0; -1)$, поэтому $y_{min}=-1$. Значения $y \in [-1; +\infty)$.Объединяя эти два множества, получаем общее множество значений функции.

Ответ: множество значений функции $E(y) = (-\infty; -4) \cup [-1; +\infty)$.

3) $y = 3\sqrt{x} - 2$

График этой функции является преобразованием графика функции $y=\sqrt{x}$. Область определения: $x \ge 0$.График $y=\sqrt{x}$ растягивается в 3 раза по оси $Oy$ ($y=3\sqrt{x}$) и затем сдвигается на 2 единицы вниз по оси $Oy$.Начальная точка графика: при $x=0$, $y=3\sqrt{0}-2=-2$. Точка $(0; -2)$.Найдем еще несколько точек: при $x=1$, $y=3\sqrt{1}-2=1$. Точка $(1; 1)$. При $x=4$, $y=3\sqrt{4}-2=3 \cdot 2-2=4$. Точка $(4; 4)$.График начинается в точке $(0; -2)$ и монотонно возрастает.Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $3\sqrt{x} \ge 0$, и $3\sqrt{x}-2 \ge -2$. Минимальное значение функции равно $-2$ и достигается при $x=0$. Верхней границы нет.

Ответ: множество значений функции $E(y) = [-2; +\infty)$.

4) $y = 3 - \sqrt{x}$

График этой функции также является преобразованием графика $y=\sqrt{x}$. Область определения: $x \ge 0$.График $y=\sqrt{x}$ отражается симметрично относительно оси $Ox$ ($y=-\sqrt{x}$) и затем сдвигается на 3 единицы вверх по оси $Oy$.Начальная точка графика: при $x=0$, $y=3-\sqrt{0}=3$. Точка $(0; 3)$.Найдем еще несколько точек: при $x=1$, $y=3-\sqrt{1}=2$. Точка $(1; 2)$. При $x=9$, $y=3-\sqrt{9}=0$. Точка $(9; 0)$.График начинается в точке $(0; 3)$ и монотонно убывает.Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $-\sqrt{x} \le 0$, и $3-\sqrt{x} \le 3$. Максимальное значение функции равно $3$ и достигается при $x=0$. Нижней границы нет.

Ответ: множество значений функции $E(y) = (-\infty; 3]$.

5) $y = x^2 + 2|x|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.Если $x \ge 0$, то $|x|=x$, и функция принимает вид $y = x^2+2x$. Это парабола с ветвями вверх, вершина которой в точке $x_v = -2/(2 \cdot 1) = -1$. На промежутке $[0; +\infty)$ эта функция возрастает. График начинается в точке $(0;0)$.Если $x < 0$, то $|x|=-x$, и функция принимает вид $y = x^2-2x$. Это парабола с ветвями вверх, вершина которой в точке $x_v = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$. На промежутке $(-\infty; 0)$ эта функция убывает.Заметим, что функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^2 + 2|-x| = x^2+2|x| = y(x)$. Её график симметричен относительно оси $Oy$.Минимум функции достигается в точке $x=0$, где $y=0$. В обе стороны от $x=0$ функция возрастает до $+\infty$.

Ответ: множество значений функции $E(y) = [0; +\infty)$.

6) $y = -x^2 + 4|x|$

Раскроем модуль.Если $x \ge 0$, то $|x|=x$, и $y = -x^2+4x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_v = -4/(2 \cdot (-1)) = 2$. $y_v = -2^2+4 \cdot 2 = -4+8=4$. Вершина в точке $(2; 4)$.Если $x < 0$, то $|x|=-x$, и $y = -x^2-4x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_v = -(-4)/(2 \cdot (-1)) = -2$. $y_v = -(-2)^2-4(-2) = -4+8=4$. Вершина в точке $(-2; 4)$.Функция четная, график симметричен относительно оси $Oy$.График состоит из двух частей парабол, соединяющихся в точке $(0;0)$. Он поднимается до максимумов в точках $(-2; 4)$ и $(2; 4)$, а затем уходит в $-\infty$. Максимальное значение функции равно 4.

Ответ: множество значений функции $E(y) = (-\infty; 4]$.

7) $y = 3x - x|x|$

Раскроем модуль.Если $x \ge 0$, то $|x|=x$, и $y = 3x - x^2 = -x^2+3x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_v = -3/(2 \cdot (-1)) = 1.5$. $y_v = -(1.5)^2+3 \cdot 1.5 = -2.25+4.5=2.25$. Точка $(1.5; 2.25)$ - локальный максимум.Если $x < 0$, то $|x|=-x$, и $y = 3x - x(-x) = 3x+x^2$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -3/(2 \cdot 1) = -1.5$. $y_v = (-1.5)^2+3(-1.5) = 2.25-4.5=-2.25$. Точка $(-1.5; -2.25)$ - локальный минимум.Функция непрерывна (обе части проходят через $(0;0)$). На промежутке $x \ge 0$ она принимает значения $(-\infty; 2.25]$. На промежутке $x < 0$ она принимает значения $[-2.25; +\infty)$.Поскольку функция непрерывна, уходит на $-\infty$ при $x \to +\infty$ и на $+\infty$ при $x \to -\infty$, она принимает все действительные значения.

Ответ: множество значений функции $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

8) $y = x|x| - 2x$

Раскроем модуль.Если $x \ge 0$, то $|x|=x$, и $y = x^2-2x$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина: $x_v = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$. $y_v = 1^2-2 \cdot 1=-1$. Точка $(1; -1)$ - локальный минимум.Если $x < 0$, то $|x|=-x$, и $y = -x^2-2x$. Это парабола с ветвями вниз. Вершина: $x_v = -(-2)/(2 \cdot (-1)) = -1$. $y_v = -(-1)^2-2(-1)=-1+2=1$. Точка $(-1; 1)$ - локальный максимум.Функция непрерывна и проходит через точку $(0;0)$.При $x \to +\infty$ функция $y=x^2-2x \to +\infty$.При $x \to -\infty$ функция $y=-x^2-2x \to -\infty$.Так как функция непрерывна и не ограничена ни сверху, ни снизу, она принимает все действительные значения.

Ответ: множество значений функции $E(y) = (-\infty; +\infty)$.