Номер 1.7, страница 18, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите множество значений функций (1.7—1.10):

1.7.1) $y = 7 - 1,4x;$

2) $y = -9 + 3x;$

3) $y = \frac{7}{1,2x - 6};$

4) $y = -\frac{1}{4,8 - 4x}.$

1.7.1) y = 7 - 1,4x;

Данная функция является линейной функцией вида $y = kx + b$, где коэффициент $k = -1,4$ и свободный член $b = 7$. Область определения линейной функции — это множество всех действительных чисел ($x \in \mathbb{R}$). Поскольку угловой коэффициент $k = -1,4 \neq 0$, функция не является постоянной, а её график — это прямая линия, не параллельная оси абсцисс. Такая прямая при неограниченном изменении аргумента $x$ принимает все возможные действительные значения. Чтобы доказать это аналитически, выразим $x$ через $y$:

$y = 7 - 1,4x$

$1,4x = 7 - y$

$x = \frac{7 - y}{1,4}$

Это уравнение имеет единственное решение для любого действительного значения $y$. Следовательно, множество значений функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

2) y = -9 + 3x;

Данная функция $y = -9 + 3x$ также является линейной. Её можно записать в стандартном виде $y = 3x - 9$, где $k = 3$ и $b = -9$. Так как $k = 3 \neq 0$, функция является возрастающей на всей области определения ($D(y) = \mathbb{R}$). Графиком является прямая, не параллельная оси Ox. Это означает, что её проекция на ось ординат (ось y) покрывает всю ось. Таким образом, функция может принимать любое действительное значение.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3) y = $\frac{7}{1,2x - 6}$;

Это дробно-рациональная функция. Множество значений функции — это совокупность всех значений, которые может принимать $y$. Значение дроби равно нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. В данном случае числитель равен 7, что не равно нулю. Следовательно, $y$ никогда не может быть равен нулю. Чтобы определить, может ли $y$ принимать все остальные действительные значения, выразим $x$ через $y$:

$y = \frac{7}{1,2x - 6}$

Подразумевая, что $y \neq 0$, умножим обе части на знаменатель:

$y(1,2x - 6) = 7$

$1,2x - 6 = \frac{7}{y}$

$1,2x = 6 + \frac{7}{y}$

$x = \frac{6}{1,2} + \frac{7}{1,2y} = 5 + \frac{35}{6y}$

Это выражение определено для любого действительного $y$, кроме $y=0$. Следовательно, множество значений функции — это все действительные числа, кроме нуля.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4) y = $-\frac{1}{4,8 - 4x}$.

Это также дробно-рациональная функция. Преобразуем выражение:

$y = -\frac{1}{4,8 - 4x} = \frac{-1}{4,8 - 4x} = \frac{1}{-(4,8 - 4x)} = \frac{1}{4x - 4,8}$

Как и в предыдущем случае, числитель дроби равен 1 (константа, не равная нулю), поэтому значение функции $y$ никогда не будет равно нулю. Чтобы найти множество всех возможных значений $y$, выразим $x$:

$y = \frac{1}{4x - 4,8}$

При $y \neq 0$:

$y(4x - 4,8) = 1$

$4x - 4,8 = \frac{1}{y}$

$4x = 4,8 + \frac{1}{y}$

$x = \frac{4,8}{4} + \frac{1}{4y} = 1,2 + \frac{1}{4y}$

Это уравнение имеет решение для любого действительного $y$, кроме $y=0$. Таким образом, множество значений функции — это все действительные числа, кроме нуля.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.