Номер 1.15, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.15.1) $y = \frac{2}{(x - 4)(x^2 - 8x + 12)};$

2) $y = \frac{4}{(x + 0,2)(x^2 + 0,4x + 0,03)};$

3) $y = \frac{1}{(3x - 1)(20x^2 - 23x + 6)};$

4) $y = \frac{2}{(6x + 1)(20x^2 - 7x - 3)}.$

1) Дана функция $y = \frac{2}{(x - 4)(x^2 - 8x + 12)}$.

Область определения функции — это множество всех значений $x$, при которых выражение имеет смысл. Для данной дроби знаменатель не должен быть равен нулю.

$(x - 4)(x^2 - 8x + 12) \neq 0$.

Это условие выполняется, когда каждый из множителей не равен нулю:

1) $x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$.

2) $x^2 - 8x + 12 \neq 0$. Решим соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 8x + 12 = 0$ для нахождения корней.

Используем теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 8$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 12$. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 6$.

Следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq 6$.

Объединяя все условия, получаем, что $x$ не может быть равен 2, 4 и 6. Область определения функции — все действительные числа, за исключением этих точек.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; 4) \cup (4; 6) \cup (6; +\infty)$.

2) Дана функция $y = \frac{4}{(x + 0.2)(x^2 + 0.4x + 0.03)}$.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$(x + 0.2)(x^2 + 0.4x + 0.03) \neq 0$.

Это условие выполняется, когда каждый из множителей не равен нулю:

1) $x + 0.2 \neq 0 \implies x \neq -0.2$.

2) $x^2 + 0.4x + 0.03 \neq 0$. Решим квадратное уравнение $x^2 + 0.4x + 0.03 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (0.4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.03 = 0.16 - 0.12 = 0.04$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-0.4 \pm \sqrt{0.04}}{2} = \frac{-0.4 \pm 0.2}{2}$.

$x_1 = \frac{-0.4 + 0.2}{2} = -0.1$

$x_2 = \frac{-0.4 - 0.2}{2} = -0.3$

Следовательно, $x \neq -0.1$ и $x \neq -0.3$.

Объединяя все условия, получаем, что область определения функции — все действительные числа, кроме $-0.3$, $-0.2$ и $-0.1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.3) \cup (-0.3; -0.2) \cup (-0.2; -0.1) \cup (-0.1; +\infty)$.

3) Дана функция $y = \frac{1}{(3x - 1)(20x^2 - 23x + 6)}$.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$(3x - 1)(20x^2 - 23x + 6) \neq 0$.

Это условие выполняется, когда каждый из множителей не равен нулю:

1) $3x - 1 \neq 0 \implies 3x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{3}$.

2) $20x^2 - 23x + 6 \neq 0$. Решим квадратное уравнение $20x^2 - 23x + 6 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 20 \cdot 6 = 529 - 480 = 49$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 20} = \frac{23 \pm 7}{40}$.

$x_1 = \frac{23 + 7}{40} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}$.

$x_2 = \frac{23 - 7}{40} = \frac{16}{40} = \frac{2}{5}$.

Следовательно, $x \neq \frac{2}{5}$ и $x \neq \frac{3}{4}$.

Объединяя все условия, получаем, что область определения функции — все действительные числа, кроме $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{4}$. Упорядочим эти числа для записи ответа: $\frac{1}{3} \approx 0.333$, $\frac{2}{5} = 0.4$, $\frac{3}{4} = 0.75$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}; \frac{3}{4}) \cup (\frac{3}{4}; +\infty)$.

4) Дана функция $y = \frac{2}{(6x + 1)(20x^2 - 7x - 3)}$.

Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$(6x + 1)(20x^2 - 7x - 3) \neq 0$.

Это условие выполняется, когда каждый из множителей не равен нулю:

1) $6x + 1 \neq 0 \implies 6x \neq -1 \implies x \neq -\frac{1}{6}$.

2) $20x^2 - 7x - 3 \neq 0$. Решим квадратное уравнение $20x^2 - 7x - 3 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-3) = 49 + 240 = 289$.

Найдем корни: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 20} = \frac{7 \pm 17}{40}$.

$x_1 = \frac{7 + 17}{40} = \frac{24}{40} = \frac{3}{5}$.

$x_2 = \frac{7 - 17}{40} = \frac{-10}{40} = -\frac{1}{4}$.

Следовательно, $x \neq -\frac{1}{4}$ и $x \neq \frac{3}{5}$.

Объединяя все условия, получаем, что область определения функции — все действительные числа, кроме $-\frac{1}{4}$, $-\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{5}$. Упорядочим эти числа для записи ответа: $-\frac{1}{4} = -0.25$, $-\frac{1}{6} \approx -0.167$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{4}) \cup (-\frac{1}{4}; -\frac{1}{6}) \cup (-\frac{1}{6}; \frac{3}{5}) \cup (\frac{3}{5}; +\infty)$.