Номер 1.19, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.19. Найдите множество значений функции:

1) $y = |x + 10| + 5$;

2) $y = 4 - |x - 4|$;

3) $y = |x - 1| + 2$;

4) $y = 3 - |x + 3|$;

5) $y = |x + 9| + x$;

6) $y = |x - 9| + x$;

7) $y = |x - 7| + 6x$;

8) $y = |x - 4| + 3x$.

1) Для функции $y = |x + 10| + 5$.

По определению модуля, выражение $|x + 10|$ всегда неотрицательно, то есть $|x + 10| \ge 0$ для любого действительного $x$. Минимальное значение этого выражения равно 0 и достигается при $x + 10 = 0$, то есть при $x = -10$.

Следовательно, наименьшее значение всей функции $y$ равно $0 + 5 = 5$. Таким образом, для любого $x$ выполняется неравенство $y \ge 5$.

Ответ: $E(y) = [5; +\infty)$.

2) Для функции $y = 4 - |x - 4|$.

Выражение $|x - 4|$ всегда неотрицательно, $|x - 4| \ge 0$. Если умножить неравенство на -1, знак изменится: $-|x - 4| \le 0$.

Прибавив 4 к обеим частям, получаем $4 - |x - 4| \le 4$, то есть $y \le 4$. Наибольшее значение функции равно 4 и достигается при $|x - 4| = 0$, то есть при $x = 4$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 4]$.

3) Для функции $y = |x - 1| + 2$.

Аналогично пункту 1, имеем $|x - 1| \ge 0$. Отсюда следует, что $|x - 1| + 2 \ge 2$, то есть $y \ge 2$.

Наименьшее значение функции равно 2 и достигается при $x = 1$.

Ответ: $E(y) = [2; +\infty)$.

4) Для функции $y = 3 - |x + 3|$.

Аналогично пункту 2, имеем $|x + 3| \ge 0$, поэтому $-|x + 3| \le 0$. Отсюда следует, что $3 - |x + 3| \le 3$, то есть $y \le 3$.

Наибольшее значение функции равно 3 и достигается при $x = -3$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 3]$.

5) Для функции $y = |x + 9| + x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака подмодульного выражения $x+9$.

1. Если $x + 9 \ge 0$, то есть $x \ge -9$. Тогда $|x + 9| = x + 9$. Функция принимает вид: $y = (x + 9) + x = 2x + 9$. На промежутке $[-9; +\infty)$ эта функция возрастает. Её наименьшее значение достигается при $x=-9$ и равно $y(-9) = 2(-9) + 9 = -9$. Таким образом, на этом промежутке $y \in [-9; +\infty)$.

2. Если $x + 9 < 0$, то есть $x < -9$. Тогда $|x + 9| = -(x + 9)$. Функция принимает вид: $y = -(x + 9) + x = -x - 9 + x = -9$. Таким образом, на этом промежутке $y = -9$.

Объединяя результаты для обоих случаев, получаем, что наименьшее значение функции равно -9, и она может принимать любые значения больше -9.

Ответ: $E(y) = [-9; +\infty)$.

6) Для функции $y = |x - 9| + x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x - 9 \ge 0$, то есть $x \ge 9$. Тогда $|x - 9| = x - 9$. Функция: $y = (x - 9) + x = 2x - 9$. На промежутке $[9; +\infty)$ функция возрастает. Наименьшее значение при $x=9$: $y(9) = 2(9) - 9 = 9$. Множество значений на этом промежутке: $[9; +\infty)$.

2. Если $x - 9 < 0$, то есть $x < 9$. Тогда $|x - 9| = -(x - 9)$. Функция: $y = -(x - 9) + x = -x + 9 + x = 9$. На этом промежутке $y$ постоянно равно 9.

Объединяя результаты, видим, что наименьшее значение функции равно 9.

Ответ: $E(y) = [9; +\infty)$.

7) Для функции $y = |x - 7| + 6x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x - 7 \ge 0$, то есть $x \ge 7$. Тогда $|x - 7| = x - 7$. Функция: $y = (x - 7) + 6x = 7x - 7$. Это возрастающая функция. При $x=7$ имеем $y(7)=7(7)-7=42$. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. Множество значений: $[42; +\infty)$.

2. Если $x - 7 < 0$, то есть $x < 7$. Тогда $|x - 7| = -(x - 7)$. Функция: $y = -(x - 7) + 6x = 5x + 7$. Это также возрастающая функция. При $x \to -\infty$, $y \to -\infty$. Когда $x$ приближается к 7 слева, $y$ приближается к $5(7)+7=42$. Множество значений: $(-\infty; 42)$.

Объединение множеств $(-\infty; 42)$ и $[42; +\infty)$ дает множество всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

8) Для функции $y = |x - 4| + 3x$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$. Тогда $|x - 4| = x - 4$. Функция: $y = (x - 4) + 3x = 4x - 4$. Это возрастающая функция. При $x=4$ имеем $y(4)=4(4)-4=12$. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. Множество значений: $[12; +\infty)$.

2. Если $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$. Тогда $|x - 4| = -(x - 4)$. Функция: $y = -(x - 4) + 3x = 2x + 4$. Это возрастающая функция. При $x \to -\infty$, $y \to -\infty$. Когда $x$ приближается к 4 слева, $y$ приближается к $2(4)+4=12$. Множество значений: $(-\infty; 12)$.

Объединение множеств $(-\infty; 12)$ и $[12; +\infty)$ дает множество всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.