Номер 3.9, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.9. Используя график функции $y = \sqrt{x}$, постройте в одной координатной плоскости графики функций:

1) $y = \sqrt{x+2}$;

2) $y = \sqrt{x-3}$;

3) $y = \sqrt{x}+3$;

4) $y = \sqrt{x}-3$.

Для построения графиков заданных функций необходимо применить правила геометрических преобразований к графику базовой функции $y = \sqrt{x}$. График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, начинающаяся в точке (0, 0) и проходящая через точки (1, 1), (4, 2) и (9, 3). Преобразование вида $y = f(x+a)$ соответствует сдвигу графика $y=f(x)$ вдоль оси абсцисс (Ox): влево на $a$ единиц при $a>0$ и вправо на $|a|$ единиц при $a<0$. Преобразование вида $y = f(x) + b$ соответствует сдвигу графика $y=f(x)$ вдоль оси ординат (Oy): вверх на $b$ единиц при $b>0$ и вниз на $|b|$ единиц при $b<0$.

1) График функции $y = \sqrt{x+2}$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (Ox) на 2 единицы влево. Это преобразование вида $y = f(x+a)$, где $f(x) = \sqrt{x}$ и $a=2$. Начальная точка графика (0, 0) перемещается в точку (-2, 0). Область определения функции: $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. Ключевые точки исходного графика (0, 0), (1, 1), (4, 2) смещаются в точки (-2, 0), (-1, 1), (2, 2) соответственно.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x+2}$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 2 единицы влево по оси Ox.

2) График функции $y = \sqrt{x-3}$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (Ox) на 3 единицы вправо. Это преобразование вида $y = f(x+a)$, где $f(x) = \sqrt{x}$ и $a=-3$. Начальная точка графика (0, 0) перемещается в точку (3, 0). Область определения функции: $x-3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$. Ключевые точки исходного графика (0, 0), (1, 1), (4, 2) смещаются в точки (3, 0), (4, 1), (7, 2) соответственно.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x-3}$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 3 единицы вправо по оси Ox.

3) График функции $y = \sqrt{x} + 3$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (Oy) на 3 единицы вверх. Это преобразование вида $y = f(x)+b$, где $f(x) = \sqrt{x}$ и $b=3$. Начальная точка графика (0, 0) перемещается в точку (0, 3). Область определения функции остается $x \ge 0$. Ключевые точки исходного графика (0, 0), (1, 1), (4, 2) смещаются в точки (0, 3), (1, 4), (4, 5) соответственно.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} + 3$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 3 единицы вверх по оси Oy.

4) График функции $y = \sqrt{x} - 3$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (Oy) на 3 единицы вниз. Это преобразование вида $y = f(x)+b$, где $f(x) = \sqrt{x}$ и $b=-3$. Начальная точка графика (0, 0) перемещается в точку (0, -3). Область определения функции остается $x \ge 0$. Ключевые точки исходного графика (0, 0), (1, 1), (4, 2) смещаются в точки (0, -3), (1, -2), (4, -1) соответственно.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x} - 3$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 3 единицы вниз по оси Oy.