Номер 3.12, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.12.Постройте график функции выделив целую часть:

1) $y = \frac{2x-3}{x}$;

2) $y = \frac{x-3}{x+1}$;

3) $y = \frac{3x-2}{x-1}$;

4) $y = \frac{-2x+3}{x+2}$.

1) Исходная функция: $y = \frac{2x - 3}{x}$.

Для построения графика необходимо выделить целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель почленно:

$y = \frac{2x}{x} - \frac{3}{x} = 2 - \frac{3}{x}$.

Мы получили функцию в виде $y = -\frac{3}{x} + 2$. Это график обратной пропорциональности $y = -\frac{3}{x}$, смещенный на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy).

График функции – гипербола. Так как коэффициент при дроби отрицательный ($-3$), ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях относительно своих асимптот.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x = 0$ (знаменатель обращается в ноль).
• Горизонтальная асимптота: $y = 2$ (смещение по оси Oy).

Для построения графика нужно сначала начертить асимптоты $x=0$ (ось Oy) и $y=2$. Затем построить гиперболу в новой системе координат, образованной этими асимптотами.

Ответ: $y = 2 - \frac{3}{x}$.

2) Исходная функция: $y = \frac{x - 3}{x + 1}$.

Выделим целую часть, представив числитель так, чтобы в нем содержался знаменатель:

$y = \frac{(x + 1) - 1 - 3}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 4}{x + 1} = \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} = 1 - \frac{4}{x + 1}$.

Мы получили функцию в виде $y = -\frac{4}{x + 1} + 1$. Это график функции $y = -\frac{4}{x}$, смещенный на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс (Ox) и на 1 единицу вверх вдоль оси ординат (Oy).

График – гипербола. Коэффициент $-4$ отрицательный, значит ветви расположены во II и IV четвертях относительно асимптот.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x + 1 = 0 \implies x = -1$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 1$.

Для построения графика нужно начертить асимптоты $x=-1$ и $y=1$ и построить относительно них гиперболу $y = -\frac{4}{x}$.

Ответ: $y = 1 - \frac{4}{x + 1}$.

3) Исходная функция: $y = \frac{3x - 2}{x - 1}$.

Выделим целую часть:

$y = \frac{3x - 3 + 1}{x - 1} = \frac{3(x - 1) + 1}{x - 1} = \frac{3(x - 1)}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} = 3 + \frac{1}{x - 1}$.

Мы получили функцию в виде $y = \frac{1}{x - 1} + 3$. Это график функции $y = \frac{1}{x}$, смещенный на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

График – гипербола. Коэффициент $1$ положительный, значит ветви расположены в I и III четвертях относительно асимптот.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x - 1 = 0 \implies x = 1$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 3$.

Для построения графика нужно начертить асимптоты $x=1$ и $y=3$ и построить относительно них гиперболу $y = \frac{1}{x}$.

Ответ: $y = 3 + \frac{1}{x - 1}$.

4) Исходная функция: $y = \frac{-2x + 3}{x + 2}$.

Выделим целую часть:

$y = \frac{-2x - 4 + 7}{x + 2} = \frac{-2(x + 2) + 7}{x + 2} = \frac{-2(x + 2)}{x + 2} + \frac{7}{x + 2} = -2 + \frac{7}{x + 2}$.

Мы получили функцию в виде $y = \frac{7}{x + 2} - 2$. Это график функции $y = \frac{7}{x}$, смещенный на 2 единицы влево вдоль оси Ox и на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

График – гипербола. Коэффициент $7$ положительный, значит ветви расположены в I и III четвертях относительно асимптот.

Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.
• Горизонтальная асимптота: $y = -2$.

Для построения графика нужно начертить асимптоты $x=-2$ и $y=-2$ и построить относительно них гиперболу $y = \frac{7}{x}$.

Ответ: $y = -2 + \frac{7}{x + 2}$.