Номер 3.14, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.14. Найдите число точек пересечения графиков функций, построив их на одной координатной плоскости:

1) $y = x^2 + 2x - 3$ и $y = \frac{2x - 5}{x - 3}$;

2) $y = -x^2 + 4x - 2$ и $y = \frac{-2x + 3}{x - 3}$.

1) Рассмотрим функции $y = x^2 + 2x - 3$ и $y = \frac{2x - 5}{x - 3}$.

Сначала построим график функции $y = x^2 + 2x - 3$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), поэтому ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.

Ордината вершины: $y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.

Вершина параболы находится в точке $(-1, -4)$.

Найдем точки пересечения параболы с осями координат:

С осью OY (при $x=0$): $y = 0^2 + 2(0) - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.

С осью OX (при $y=0$): $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Точки $(-3, 0)$ и $(1, 0)$.

Теперь построим график функции $y = \frac{2x - 5}{x - 3}$. Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола.

Преобразуем выражение, выделив целую часть: $y = \frac{2x - 6 + 1}{x - 3} = \frac{2(x - 3) + 1}{x - 3} = 2 + \frac{1}{x - 3}$.

Из этого вида видно, что график получен сдвигом графика функции $y = \frac{1}{x}$ на 3 единицы вправо и на 2 единицы вверх.

Вертикальная асимптота: $x = 3$.

Горизонтальная асимптота: $y = 2$.

Построим графики параболы и гиперболы в одной системе координат и проанализируем их взаимное расположение.

Рассмотрим интервал $x > 3$. При $x \to 3^+$, значение функции-гиперболы $y \to +\infty$, а значение параболы $y(3) = 3^2 + 2(3) - 3 = 12$. Таким образом, справа от асимптоты гипербола начинается "выше" параболы. При $x \to +\infty$, парабола уходит в $+\infty$, а гипербола приближается к своей асимптоте $y=2$. Следовательно, на этом интервале графики должны пересечься. Это первая точка пересечения.

Рассмотрим интервал $x < 3$. При $x \to -\infty$, парабола уходит в $+\infty$, а гипербола приближается к $y=2$. Значит, на левой бесконечности парабола находится выше гиперболы. В точке вершины параболы $x=-1$, ее значение $y(-1) = -4$. Значение гиперболы в этой точке $y(-1) = 2 + \frac{1}{-1-3} = 2 - 0.25 = 1.75$. Здесь гипербола выше параболы. Так как при $x \to -\infty$ парабола была выше, а при $x=-1$ стала ниже, то на интервале $(-\infty, -1)$ есть точка пересечения. Это вторая точка пересечения.

В точке $x=1$ парабола пересекает ось абсцисс, $y(1)=0$. Значение гиперболы в этой точке $y(1) = 2 + \frac{1}{1-3} = 2 - 0.5 = 1.5$. Гипербола все еще выше параболы. Найдем точку, где гипербола пересекает ось абсцисс: $\frac{2x-5}{x-3}=0 \Rightarrow 2x-5=0 \Rightarrow x=2.5$. В этой точке $y=0$. Значение параболы при $x=2.5$ равно $y(2.5) = (2.5)^2 + 2(2.5) - 3 = 6.25 + 5 - 3 = 8.25$. Здесь парабола выше гиперболы. Так как при $x=1$ гипербола была выше, а при $x=2.5$ стала ниже, то на интервале $(1, 2.5)$ есть еще одна точка пересечения. Это третья точка пересечения.

Таким образом, графики функций пересекаются в трех точках.

Ответ: 3

2) Рассмотрим функции $y = -x^2 + 4x - 2$ и $y = \frac{-2x + 3}{x - 3}$.

Сначала построим график функции $y = -x^2 + 4x - 2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный.

Координаты вершины параболы: $x_v = -\frac{4}{2(-1)} = 2$.

$y_v = -(2)^2 + 4(2) - 2 = -4 + 8 - 2 = 2$.

Вершина параболы находится в точке $(2, 2)$.

Точка пересечения с осью OY ($x=0$): $y = -2$. Точка $(0, -2)$.

Точки пересечения с осью OX ($y=0$): $-x^2 + 4x - 2 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 2 = 0$.

Корни уравнения: $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$. Точки $(2-\sqrt{2}, 0)$ и $(2+\sqrt{2}, 0)$.

Теперь построим график функции $y = \frac{-2x + 3}{x - 3}$. Это гипербола.

Преобразуем выражение: $y = \frac{-2(x - 3) - 6 + 3}{x - 3} = \frac{-2(x - 3) - 3}{x - 3} = -2 - \frac{3}{x - 3}$.

Вертикальная асимптота: $x = 3$.

Горизонтальная асимптота: $y = -2$.

Построим оба графика на одной координатной плоскости.

Рассмотрим расположение графиков. В точке $x=0$ парабола имеет значение $y(0)=-2$, а гипербола $y(0)=\frac{3}{-3}=-1$. То есть, на оси OY гипербола выше параболы. В точке вершины параболы $x=2$ ее значение $y(2)=2$. Значение гиперболы в этой точке $y(2)=\frac{-2(2)+3}{2-3}=\frac{-1}{-1}=1$. Здесь парабола выше гиперболы. Так как на отрезке $[0, 2]$ графики поменялись местами, они должны пересечься на интервале $(0, 2)$. Это первая точка пересечения.

Рассмотрим интервал $(2, 3)$. В точке $x=2$ парабола находится выше гиперболы. При $x \to 3^-$ значение параболы стремится к $y(3)=-9+12-2=1$, а значение гиперболы $y \to +\infty$. Значит, гипербола "уходит вверх" и обязательно пересечет параболу. Это вторая точка пересечения.

Рассмотрим интервал $x > 3$. При $x \to 3^+$ значение параболы близко к 1, а значение гиперболы $y \to -\infty$. То есть, сразу справа от асимптоты парабола находится выше гиперболы. При $x \to +\infty$ парабола уходит в $-\infty$, а гипербола приближается к своей асимптоте $y=-2$. Следовательно, парабола должна пересечь гиперболу, чтобы оказаться ниже нее. Это третья точка пересечения.

Таким образом, графики данных функций также пересекаются в трех точках.

Ответ: 3