Номер 3.11, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.11. Постройте график квадратичной функции, выделив квадрат двучлена:

1) $y = x^2 - 3x + 1;$

2) $y = -x^2 + 4x + 2;$

3) $y = -2x^2 + 6x - 1;$

4) $y = 4x^2 - 8x + 1.$

1) Для функции $y = x^2 - 3x + 1$ выделим квадрат двучлена. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Представим $-3x$ как $-2 \cdot x \cdot \frac{3}{2}$. Чтобы получить полный квадрат, нам не хватает $(\frac{3}{2})^2$. Добавим и вычтем это значение:

$y = (x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{2} + (\frac{3}{2})^2) - (\frac{3}{2})^2 + 1$

Теперь свернем скобку в квадрат и вычислим оставшуюся часть:

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 1 = (x - 1.5)^2 - \frac{9}{4} + \frac{4}{4} = (x - 1.5)^2 - \frac{5}{4}$

$y = (x - 1.5)^2 - 1.25$

Это парабола, полученная из графика $y=x^2$ сдвигом на $1.5$ единицы вправо по оси Ox и на $1.25$ единицы вниз по оси Oy.

Для построения графика определим его ключевые параметры:

1. Вершина параболы находится в точке $(1.5; -1.25)$.

2. Ось симметрии параболы — прямая $x = 1.5$.

3. Коэффициент при $x^2$ равен $1$ ($1>0$), значит, ветви параболы направлены вверх.

4. Найдем точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy (x=0): $y = 0^2 - 3 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$.

- С осью Ox (y=0): $(x - 1.5)^2 - 1.25 = 0 \implies (x - 1.5)^2 = 1.25 \implies x - 1.5 = \pm\sqrt{1.25} \implies x = 1.5 \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$. Точки примерно $(0.38; 0)$ и $(2.62; 0)$.

5. Найдем еще одну точку для точности. Возьмем точку, симметричную точке $(0; 1)$ относительно оси $x = 1.5$. Ее абсцисса будет $1.5 + (1.5 - 0) = 3$. Точка $(3; 1)$.

Построим параболу, проходящую через эти точки.

Ответ: $y = (x - 1.5)^2 - 1.25$.

2) Для функции $y = -x^2 + 4x + 2$ выделим квадрат двучлена. Сначала вынесем $-1$ за скобки для членов, содержащих $x$.

$y = -(x^2 - 4x) + 2$

Представим $-4x$ как $-2 \cdot x \cdot 2$. Для полного квадрата не хватает $2^2=4$. Добавим и вычтем это значение внутри скобок:

$y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 2$

Вынесем $-4$ из скобок, не забывая умножить на $-1$ перед скобками:

$y = -(x^2 - 4x + 4) + 4 + 2$

$y = -(x - 2)^2 + 6$

Это парабола, полученная из графика $y=-x^2$ сдвигом на $2$ единицы вправо по оси Ox и на $6$ единиц вверх по оси Oy.

Для построения графика определим его ключевые параметры:

1. Вершина параболы находится в точке $(2; 6)$.

2. Ось симметрии параболы — прямая $x = 2$.

3. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$ ($-1<0$), значит, ветви параболы направлены вниз.

4. Найдем точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy (x=0): $y = -0^2 + 4 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка $(0; 2)$.

- С осью Ox (y=0): $-(x - 2)^2 + 6 = 0 \implies (x - 2)^2 = 6 \implies x - 2 = \pm\sqrt{6} \implies x = 2 \pm \sqrt{6}$. Точки примерно $(-0.45; 0)$ и $(4.45; 0)$.

5. Найдем точку, симметричную точке $(0; 2)$ относительно оси $x = 2$. Ее абсцисса будет $2 + (2 - 0) = 4$. Точка $(4; 2)$.

Построим параболу, проходящую через эти точки.

Ответ: $y = -(x - 2)^2 + 6$.

3) Для функции $y = -2x^2 + 6x - 1$ выделим квадрат двучлена. Вынесем $-2$ за скобки.

$y = -2(x^2 - 3x) - 1$

Представим $-3x$ как $-2 \cdot x \cdot \frac{3}{2}$. Для полного квадрата не хватает $(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$. Добавим и вычтем это значение внутри скобок:

$y = -2(x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) - 1$

Вынесем $-\frac{9}{4}$ из скобок, умножив на $-2$:

$y = -2(x^2 - 3x + \frac{9}{4}) + (-2)(-\frac{9}{4}) - 1$

$y = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} - 1 = -2(x - 1.5)^2 + 4.5 - 1$

$y = -2(x - 1.5)^2 + 3.5$

Это парабола, полученная из графика $y=-2x^2$ сдвигом на $1.5$ единицы вправо по оси Ox и на $3.5$ единицы вверх по оси Oy.

Для построения графика определим его ключевые параметры:

1. Вершина параболы находится в точке $(1.5; 3.5)$.

2. Ось симметрии параболы — прямая $x = 1.5$.

3. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$ ($-2<0$), значит, ветви параболы направлены вниз и она "уже", чем $y=-x^2$.

4. Найдем точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy (x=0): $y = -2 \cdot 0^2 + 6 \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$.

- С осью Ox (y=0): $-2(x - 1.5)^2 + 3.5 = 0 \implies 2(x - 1.5)^2 = 3.5 \implies (x - 1.5)^2 = 1.75 \implies x = 1.5 \pm \sqrt{1.75}$. Точки примерно $(0.18; 0)$ и $(2.82; 0)$.

5. Найдем точку, симметричную точке $(0; -1)$ относительно оси $x=1.5$. Ее абсцисса будет $1.5 + (1.5 - 0) = 3$. Точка $(3; -1)$.

Построим параболу, проходящую через эти точки.

Ответ: $y = -2(x - 1.5)^2 + 3.5$.

4) Для функции $y = 4x^2 - 8x + 1$ выделим квадрат двучлена. Вынесем $4$ за скобки.

$y = 4(x^2 - 2x) + 1$

Представим $-2x$ как $-2 \cdot x \cdot 1$. Для полного квадрата не хватает $1^2=1$. Добавим и вычтем это значение внутри скобок:

$y = 4(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$

Вынесем $-1$ из скобок, умножив на $4$:

$y = 4(x^2 - 2x + 1) + 4(-1) + 1$

$y = 4(x - 1)^2 - 4 + 1$

$y = 4(x - 1)^2 - 3$

Это парабола, полученная из графика $y=4x^2$ сдвигом на $1$ единицу вправо по оси Ox и на $3$ единицы вниз по оси Oy.

Для построения графика определим его ключевые параметры:

1. Вершина параболы находится в точке $(1; -3)$.

2. Ось симметрии параболы — прямая $x = 1$.

3. Коэффициент при $x^2$ равен $4$ ($4>0$), значит, ветви параболы направлены вверх и она "уже", чем $y=x^2$.

4. Найдем точки пересечения с осями координат:

- С осью Oy (x=0): $y = 4 \cdot 0^2 - 8 \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$.

- С осью Ox (y=0): $4(x - 1)^2 - 3 = 0 \implies 4(x - 1)^2 = 3 \implies (x - 1)^2 = \frac{3}{4} \implies x - 1 = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \implies x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Точки примерно $(0.13; 0)$ и $(1.87; 0)$.

5. Найдем точку, симметричную точке $(0; 1)$ относительно оси $x = 1$. Ее абсцисса будет $1 + (1 - 0) = 2$. Точка $(2; 1)$.

Построим параболу, проходящую через эти точки.

Ответ: $y = 4(x - 1)^2 - 3$.