Номер 3.19, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.19. Графическим способом решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ y = 2x^3; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + 3x - y = 0, \\ y = 5 - x^2. \end{cases}$

1) Для решения системы уравнений графическим способом построим графики для каждого уравнения на одной координатной плоскости.

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 16$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{16} = 4$.

Второе уравнение $y = 2x^3$ — это кубическая парабола, проходящая через начало координат. Построим её по точкам:

- при $x=0$, $y=0$;

- при $x=1$, $y=2 \cdot 1^3 = 2$;

- при $x=-1$, $y=2 \cdot (-1)^3 = -2$;

- при $x \approx 1.25$, $y \approx 2 \cdot (1.25)^3 \approx 3.9$.

Начертим окружность и кубическую параболу. Мы увидим, что графики пересекаются в двух точках, расположенных симметрично относительно начала координат (в I и III координатных четвертях). Точные координаты точек пересечения из графика определить сложно, так как они не являются целочисленными. Определим их приблизительные значения.

Координаты точки в первой четверти приблизительно равны $(1.25, 3.9)$.

Координаты симметричной ей точки в третьей четверти — $(-1.25, -3.9)$.

Поскольку графический метод дает приблизительные значения, округлим их до одного знака после запятой.

Ответ: приблизительные решения: $(1.3, 3.8)$, $(-1.3, -3.8)$.

2) Для решения системы уравнений графическим способом построим графики для каждого уравнения на одной координатной плоскости.

Первое уравнение $x^2 + 3x - y = 0$ можно переписать как $y = x^2 + 3x$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее вершину: $x_v = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$; $y_v = (-1.5)^2 + 3(-1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$. Вершина в точке $(-1.5, -2.25)$. Парабола пересекает ось Ox в точках $x=0$ и $x=-3$.

Второе уравнение $y = 5 - x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз. Ее вершина находится в точке $(0, 5)$.

Построим обе параболы в одной системе координат. Графики пересекаются в двух точках. Координаты этих точек и являются решением системы.

Из графика можно определить координаты точек пересечения:

Первая точка: $(1, 4)$.

Вторая точка: $(-2.5, -1.25)$.

Выполним проверку для точки $(1, 4)$:

$1^2 + 3(1) - 4 = 1+3-4=0$ (верно)

$4 = 5 - 1^2$ (верно)

Выполним проверку для точки $(-2.5, -1.25)$:

$(-2.5)^2 + 3(-2.5) - (-1.25) = 6.25 - 7.5 + 1.25 = 0$ (верно)

$-1.25 = 5 - (-2.5)^2 = 5 - 6.25 = -1.25$ (верно)

Ответ: $(1, 4)$, $(-2.5, -1.25)$.