Номер 4.6, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.6. Используя преобразования, постройте график функции:

1) $y = 2\sqrt{x-3}$;

2) $y = \sqrt{x+1} - 2$;

3) $y = -\sqrt{x+3} + 2$;

4) $y = 2\sqrt{4-x}$.

1) Для построения графика функции $y = 2\sqrt{x-3}$ необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y=\sqrt{x}$.

Последовательность преобразований:

1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$. Это стандартная кривая (ветвь параболы), выходящая из начала координат $(0,0)$ и проходящая через точки $(1,1)$ и $(4,2)$.

2. Выполнить сдвиг графика $y=\sqrt{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс (Ox). В результате получается график функции $y=\sqrt{x-3}$. Начальная точка графика теперь находится в $(3,0)$.

3. Выполнить растяжение графика $y=\sqrt{x-3}$ от оси Ox в 2 раза (вдоль оси ординат Oy). В результате получается искомый график $y=2\sqrt{x-3}$. Координата $y$ каждой точки умножается на 2. Начальная точка $(3,0)$ остается на месте. Точка $(4,1)$ переходит в $(4,2)$, точка $(7,2)$ переходит в $(7,4)$.

Ответ: График функции $y=2\sqrt{x-3}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 3 единицы вправо по оси Ox и последующим растяжением в 2 раза вдоль оси Oy.

2) Для построения графика функции $y = \sqrt{x+1}-2$ необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y=\sqrt{x}$.

Последовательность преобразований:

1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.

2. Выполнить сдвиг графика $y=\sqrt{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. В результате получается график функции $y=\sqrt{x+1}$. Начало графика смещается в точку $(-1,0)$.

3. Выполнить сдвиг графика $y=\sqrt{x+1}$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. В результате получается искомый график $y=\sqrt{x+1}-2$. Начальная точка графика смещается в $(-1,-2)$. Точка $(0,1)$ на промежуточном графике переходит в $(0,-1)$, а точка $(3,2)$ — в $(3,0)$.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x+1}-2$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом на 1 единицу влево по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy.

3) Для построения графика функции $y = -\sqrt{x+3}+2$ необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y=\sqrt{x}$.

Последовательность преобразований:

1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.

2. Выполнить сдвиг графика $y=\sqrt{x}$ на 3 единицы влево вдоль оси Ox. В результате получается график $y=\sqrt{x+3}$. Начало графика смещается в точку $(-3,0)$.

3. Выполнить симметричное отражение графика $y=\sqrt{x+3}$ относительно оси Ox. В результате получается график $y=-\sqrt{x+3}$. Ветвь параболы теперь направлена вниз.

4. Выполнить сдвиг графика $y=-\sqrt{x+3}$ на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. В результате получается искомый график $y=-\sqrt{x+3}+2$. Начальная точка графика смещается в $(-3,2)$. Точка $(-2,1)$ на промежуточном графике $y=\sqrt{x+3}$ после отражения становится $(-2,-1)$, а после сдвига вверх — $(-2,1)$.

Ответ: График функции $y=-\sqrt{x+3}+2$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем сдвига на 3 единицы влево по оси Ox, затем симметричного отражения относительно оси Ox, и последующего сдвига на 2 единицы вверх по оси Oy.

4) Для построения графика функции $y = 2\sqrt{4-x}$ необходимо выполнить последовательность преобразований над графиком базовой функции $y=\sqrt{x}$. Функцию можно записать в виде $y=2\sqrt{-(x-4)}$.

Последовательность преобразований:

1. Построить график функции $y=\sqrt{x}$.

2. Выполнить симметричное отражение графика $y=\sqrt{x}$ относительно оси Oy. В результате получается график $y=\sqrt{-x}$. Ветвь параболы теперь направлена влево от начала координат.

3. Выполнить сдвиг графика $y=\sqrt{-x}$ на 4 единицы вправо вдоль оси Ox. В результате получается график $y=\sqrt{-(x-4)}$, что эквивалентно $y=\sqrt{4-x}$. Начало графика смещается в точку $(4,0)$.

4. Выполнить растяжение графика $y=\sqrt{4-x}$ в 2 раза вдоль оси Oy. В результате получается искомый график $y=2\sqrt{4-x}$. Начальная точка $(4,0)$ остается на месте. Точка $(3,1)$ на промежуточном графике переходит в $(3,2)$, а точка $(0,2)$ — в $(0,4)$.

Ответ: График функции $y=2\sqrt{4-x}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем симметричного отражения относительно оси Oy, затем сдвига на 4 единицы вправо по оси Ox и последующего растяжения в 2 раза вдоль оси Oy.