Номер 4.3, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.3. На одной координатной плоскости постройте графики функций:

1) $y = x$; $y = 2x$ и $y = 0.5x$;

2) $y = x^2$; $y = 3x^2$ и $y = 0.5x^2$;

3) $y = \frac{1}{x}$; $y = \frac{3}{x}$ и $y = \frac{0.5}{x^2}$.

1) y = x; y = 2x и y = 0,5x;

Все три функции вида $y = kx$ являются линейными. Их графиками являются прямые линии, проходящие через начало координат, точку $(0,0)$. Коэффициент $k$ называется угловым коэффициентом и определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси Ох.

Для построения каждой прямой достаточно найти еще одну точку, кроме начала координат.

Для функции $y=x$: угловой коэффициент $k=1$. Возьмем $x=2$, тогда $y=2$. Таким образом, график проходит через точки $(0,0)$ и $(2,2)$. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Для функции $y=2x$: угловой коэффициент $k=2$. Возьмем $x=1$, тогда $y=2$. График проходит через точки $(0,0)$ и $(1,2)$. Так как $k=2 > 1$, эта прямая расположена "круче" (ближе к оси Oy), чем прямая $y=x$.

Для функции $y=0,5x$: угловой коэффициент $k=0,5$. Возьмем $x=2$, тогда $y=1$. График проходит через точки $(0,0)$ и $(2,1)$. Так как $k=0,5 < 1$, эта прямая более "пологая" (ближе к оси Ox), чем прямая $y=x$.

Ответ: Все три графика — это прямые, проходящие через начало координат. Прямая $y=2x$ имеет самый большой угол наклона к оси Ox, прямая $y=0,5x$ — самый маленький. Прямая $y=x$ проходит между ними.

2) y = x²; y = 3x² и y = 0,5x²;

Все три функции вида $y = ax^2$ являются квадратичными. Их графиками являются параболы, вершина которых находится в начале координат $(0,0)$, а ветви направлены вверх, так как во всех случаях коэффициент $a>0$. Ось симметрии для всех трех парабол — ось Oy. Коэффициент $a$ влияет на "ширину" параболы: чем больше $|a|$, тем "уже" парабола (сильнее вытянута вдоль оси Oy).

Для построения графиков составим таблицы значений для каждой функции.

Для функции $y=x^2$ (основная парабола):

При $x=0, y=0$, точка $(0,0)$.

При $x=1, y=1$, точка $(1,1)$.

При $x=-1, y=1$, точка $(-1,1)$.

При $x=2, y=4$, точка $(2,4)$.

При $x=-2, y=4$, точка $(-2,4)$.

Для функции $y=3x^2$:

При $x=0, y=0$, точка $(0,0)$.

При $x=1, y=3$, точка $(1,3)$.

При $x=-1, y=3$, точка $(-1,3)$.

График этой параболы получается из графика $y=x^2$ растяжением в 3 раза вдоль оси Oy. Она является самой "узкой" из трех.

Для функции $y=0,5x^2$:

При $x=0, y=0$, точка $(0,0)$.

При $x=1, y=0,5$, точка $(1; 0,5)$.

При $x=-1, y=0,5$, точка $(-1; 0,5)$.

При $x=2, y=2$, точка $(2,2)$.

При $x=-2, y=2$, точка $(-2,2)$.

График этой параболы получается из графика $y=x^2$ сжатием в 2 раза (или растяжением в 0,5 раз) вдоль оси Oy. Она является самой "широкой" из трех.

Ответ: Все три графика — это параболы с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола $y=3x^2$ самая узкая, парабола $y=0,5x^2$ — самая широкая, а парабола $y=x^2$ расположена между ними.

3) y = 1/x; y = 3/x и y = 0,5/x².

В этом пункте представлены графики различных рациональных функций. Область определения для всех трех функций - все действительные числа, кроме $x=0$. Ось Oy ($x=0$) является вертикальной асимптотой для всех трех графиков.

Функции $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{3}{x}$ являются обратными пропорциональностями вида $y=\frac{k}{x}$. Их графики — гиперболы. Поскольку для обеих функций $k > 0$, их ветви расположены в I и III координатных четвертях. Горизонтальной асимптотой является ось Ox ($y=0$).

Для $y = \frac{1}{x}$: найдем точки. При $x=1, y=1$; при $x=2, y=0,5$; при $x=0,5, y=2$. В третьей четверти симметричные точки: при $x=-1, y=-1$; при $x=-2, y=-0,5$; при $x=-0,5, y=-2$.

Для $y = \frac{3}{x}$: найдем точки. При $x=1, y=3$; при $x=3, y=1$. В третьей четверти: при $x=-1, y=-3$; при $x=-3, y=-1$. График этой гиперболы получен из графика $y = \frac{1}{x}$ растяжением вдоль оси Oy в 3 раза, поэтому его ветви лежат дальше от осей координат.

Функция $y = \frac{0,5}{x^2}$ является четной, так как $y(-x) = \frac{0,5}{(-x)^2} = \frac{0,5}{x^2} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy. Поскольку $x^2 \ge 0$ (при $x \ne 0$) и числитель $0,5 > 0$, то $y$ всегда будет положительным. Следовательно, обе ветви графика лежат в верхней полуплоскости (в I и II четвертях). Ось Ox ($y=0$) также является горизонтальной асимптотой.

Для $y = \frac{0,5}{x^2}$: найдем точки. При $x=1, y=0,5$; при $x=-1, y=0,5$. При $x=0,5, y=2$; при $x=-0,5, y=2$. При $x=2, y=\frac{0,5}{4}=0,125$; при $x=-2, y=0,125$.

Ответ: На одной координатной плоскости будут построены три графика. Два из них — гиперболы ($y=1/x$ и $y=3/x$) с ветвями в I и III четвертях, причем ветви графика $y=3/x$ расположены дальше от осей, чем у $y=1/x$. Третий график ($y=0,5/x^2$) имеет две симметричные относительно оси Oy ветви в I и II четвертях, приближающиеся к осям координат.