Номер 4.4, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.4. Постройте на одной координатной плоскости графики функций:

1) $y = x^2$; $y = -1.5x^2$; $y = x^2 - 2$; $y = (x - 2)^2$; $y = -2x^2 + 3$;

2) $y = \sqrt{x}$; $y = \sqrt{x - 2}$; $y = \sqrt{x + 3}$; $y = 2\sqrt{x}$; $y = -3\sqrt{x}$.

Какие преобразования были выполнены с графиками функций: $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$?

1) Все графики в этом пункте являются преобразованиями графика базовой функции $y=x^2$. Это парабола с вершиной в начале координат $(0;0)$ и ветвями, направленными вверх.

Для функции $y = -1,5x^2$:

График получается из графика $y = x^2$ путем двух преобразований:

1. Растяжение от оси $Ox$ (вдоль оси $Oy$) в 1,5 раза. Это означает, что каждая ордината ($y$) точки графика умножается на 1,5.

2. Симметричное отражение относительно оси $Ox$. Это преобразование выполняется из-за знака «минус» перед коэффициентом. Ветви параболы теперь направлены вниз.

Вершина параболы остается в точке $(0;0)$.

Ответ: График функции $y=x^2$ отражается относительно оси $Ox$ и растягивается от оси $Ox$ в 1,5 раза.

Для функции $y = x^2 - 2$:

График получается из графика $y = x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

Вершина параболы смещается из точки $(0;0)$ в точку $(0;-2)$.

Ответ: График функции $y=x^2$ сдвигается на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

Для функции $y = (x - 2)^2$:

График получается из графика $y = x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

Вершина параболы смещается из точки $(0;0)$ в точку $(2;0)$.

Ответ: График функции $y=x^2$ сдвигается на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

Для функции $y = -2x^2 + 3$:

График получается из графика $y = x^2$ путем последовательного выполнения трех преобразований:

1. Растяжение от оси $Ox$ (вдоль оси $Oy$) в 2 раза (коэффициент 2).

2. Симметричное отражение относительно оси $Ox$ (знак «минус»). Ветви параболы становятся направленными вниз.

3. Параллельный перенос на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$ (слагаемое +3).

Вершина параболы смещается из точки $(0;0)$ в точку $(0;3)$.

Ответ: График функции $y=x^2$ растягивается от оси $Ox$ в 2 раза, затем отражается относительно оси $Ox$ и сдвигается на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

2) Все графики в этом пункте являются преобразованиями графика базовой функции $y=\sqrt{x}$. График этой функции — ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти, начинающаяся в точке $(0;0)$. Область определения $x \ge 0$.

Для функции $y = \sqrt{x-2}$:

График получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

Начальная точка графика смещается из $(0;0)$ в $(2;0)$. Область определения функции становится $x \ge 2$.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x}$ сдвигается на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$.

Для функции $y = \sqrt{x+3}$:

График получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$.

Начальная точка графика смещается из $(0;0)$ в $(-3;0)$. Область определения функции становится $x \ge -3$.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x}$ сдвигается на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$.

Для функции $y = 2\sqrt{x}$:

График получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем растяжения от оси $Ox$ (вдоль оси $Oy$) в 2 раза.

Каждая ордината ($y$) точки графика умножается на 2. Начальная точка $(0;0)$ остается на месте.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x}$ растягивается от оси $Ox$ в 2 раза.

Для функции $y = -3\sqrt{x}$:

График получается из графика $y=\sqrt{x}$ путем двух преобразований:

1. Растяжение от оси $Ox$ (вдоль оси $Oy$) в 3 раза.

2. Симметричное отражение относительно оси $Ox$ (из-за знака «минус»). График теперь расположен в четвертой координатной четверти.

Начальная точка $(0;0)$ остается на месте.

Ответ: График функции $y=\sqrt{x}$ отражается относительно оси $Ox$ и растягивается от оси $Ox$ в 3 раза.