Номер 4.11, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.11. Используя преобразования над функцией $y = \sqrt{x}$, на координатной плоскости построен график функции (рис. 4.17).

1)

2)

Рис. 4.17

1) Исходный график функции $y = \sqrt{x}$ имеет вершину в точке $(0; 0)$ и проходит через точки $(1; 1)$, $(4; 2)$ и так далее, находясь в первой координатной четверти. График на рисунке 1) имеет ту же форму, что и $y = \sqrt{x}$, но его вершина смещена в точку $(1; -1)$. Это означает, что график исходной функции был сдвинут на 1 единицу вправо по оси $Ox$ и на 1 единицу вниз по оси $Oy$.

Сдвиг графика функции $f(x)$ на $a$ единиц вправо описывается функцией $f(x-a)$. В нашем случае сдвиг на 1 единицу вправо дает функцию $y = \sqrt{x-1}$.

Сдвиг графика функции $f(x)$ на $b$ единиц вниз описывается функцией $f(x)-b$. Применяя сдвиг на 1 единицу вниз к полученной функции, получаем итоговое уравнение: $y = \sqrt{x-1} - 1$.

Проверим себя, подставив координаты одной из точек графика, например, $(5; 1)$.

$y(5) = \sqrt{5-1} - 1 = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1$.

Точка $(5; 1)$ принадлежит графику, следовательно, уравнение найдено верно.

Ответ: $y = \sqrt{x-1} - 1$.

2) График на рисунке 2) имеет вершину в начале координат, в точке $(0; 0)$, как и у исходной функции $y = \sqrt{x}$. Однако, в отличие от исходного графика, который расположен в первой координатной четверти, этот график расположен в третьей четверти. Это указывает на симметричные преобразования (отражения) относительно координатных осей.

График функции $y = f(-x)$ симметричен графику $y = f(x)$ относительно оси $Oy$. Применение этого преобразования к $y = \sqrt{x}$ дает функцию $y = \sqrt{-x}$. Ее график расположен во второй координатной четверти.

График функции $y = -f(x)$ симметричен графику $y = f(x)$ относительно оси $Ox$. Применение этого преобразования к функции $y = \sqrt{-x}$ дает итоговую функцию $y = -\sqrt{-x}$. Ее график будет симметричен графику $y = \sqrt{-x}$ относительно оси $Ox$ и будет расположен в третьей координатной четверти, что и соответствует рисунку.

Таким образом, график получен путем последовательного отражения графика $y = \sqrt{x}$ относительно оси $Oy$, а затем относительно оси $Ox$.

Проверим себя, подставив координаты одной из точек графика, например, $(-4; -2)$.

$y(-4) = -\sqrt{-(-4)} = -\sqrt{4} = -2$.

Точка $(-4; -2)$ принадлежит графику, следовательно, уравнение найдено верно.

Ответ: $y = -\sqrt{-x}$.