Вопросы, страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. При каких значениях $a$ график функции $y = f(ax)$ получается из графика функции $y = f(x)$:
а) его растяжением вдоль оси $Ox$;
б) его сжатием вдоль оси $Ox$;
в) с помощью симметрии относительно оси $Oy$? Приведите примеры.

2. Как, используя график функции $y = f(x)$, построить график функции:
а) $y = f(-2x)$;
б) $y = f(-0,5x)$?

3. Как связаны координаты точек графиков функций $y = f(x)$ и $y = f(ax)$, если:
а) $a > 1$;
б) $0 < a < 1$;
в) $a = -1$? Приведите примеры.

1. а) График функции $y = f(ax)$ получается из графика $y = f(x)$ его растяжением вдоль оси $Ox$, если коэффициент преобразования абсциссы больше единицы. Точка $(x_0, y_0)$ с графика $y = f(x)$ переходит в точку $(x_1, y_0)$ на графике $y = f(ax)$ так, что $f(x_0) = f(ax_1)$, откуда $x_1 = x_0/a$. Растяжение означает, что новая абсцисса $x_1$ по модулю больше исходной $x_0$. Это условие, $|x_1| > |x_0|$, выполняется, когда $|x_0/a| > |x_0|$, что эквивалентно $1/|a| > 1$ или $|a| < 1$. Для растяжения без отражения относительно оси $Oy$, коэффициент $a$ должен быть положительным. Таким образом, растяжение происходит при $0 < a < 1$. Коэффициент растяжения равен $1/a$.

Пример: пусть $f(x) = \cos(x)$. При $a=0.5$ функция принимает вид $y = \cos(0.5x)$. Ее график получается растяжением графика $y = \cos(x)$ от оси $Oy$ в $1/0.5 = 2$ раза.

Ответ: при $0 < a < 1$.

1. б) Его сжатием вдоль оси $Ox$. Аналогично пункту а), сжатие происходит, когда новая абсцисса $x_1$ по модулю меньше исходной $x_0$. Это условие, $|x_1| < |x_0|$, выполняется, когда $|x_0/a| < |x_0|$, что эквивалентно $1/|a| < 1$ или $|a| > 1$. Для сжатия без отражения коэффициент $a$ должен быть положительным. Таким образом, сжатие происходит при $a > 1$. Коэффициент сжатия равен $a$.

Пример: пусть $f(x) = \cos(x)$. При $a=2$ функция принимает вид $y = \cos(2x)$. Ее график получается сжатием графика $y = \cos(x)$ к оси $Oy$ в $2$ раза.

Ответ: при $a > 1$.

1. в) С помощью симметрии относительно оси $Oy$. Симметричное отображение точки $(x_0, y_0)$ относительно оси $Oy$ дает точку $(-x_0, y_0)$. Это означает, что новая абсцисса $x_1$ должна быть равна $-x_0$. Из соотношения $x_1 = x_0/a$ получаем $-x_0 = x_0/a$, откуда, если $x_0 \ne 0$, следует, что $a = -1$.

Пример: пусть $f(x) = (x-2)^2$. График функции $y = f(-x) = (-x-2)^2 = (x+2)^2$ является симметричным отражением графика $y=(x-2)^2$ относительно оси $Oy$.

Ответ: при $a = -1$.

2. а) Чтобы построить график функции $y = f(-2x)$, используя график функции $y = f(x)$, нужно выполнить два последовательных преобразования. В данном случае коэффициент $a = -2$.

1. Выполнить сжатие графика $y = f(x)$ вдоль оси $Ox$ к оси $Oy$ в 2 раза. В результате получится график функции $y = f(2x)$.

2. Полученный график $y = f(2x)$ симметрично отразить относительно оси $Oy$. В результате получится искомый график $y = f(-2x)$.

Порядок этих преобразований можно поменять.

Ответ: необходимо сжать график $y=f(x)$ вдоль оси $Ox$ в 2 раза, а затем полученный график отразить симметрично относительно оси $Oy$.

2. б) Чтобы построить график функции $y = f(-0.5x)$, используя график функции $y = f(x)$, нужно выполнить два последовательных преобразования. В данном случае коэффициент $a = -0.5$.

1. Выполнить растяжение графика $y = f(x)$ вдоль оси $Ox$ от оси $Oy$ в $1/0.5 = 2$ раза. В результате получится график функции $y = f(0.5x)$.

2. Полученный график $y = f(0.5x)$ симметрично отразить относительно оси $Oy$. В результате получится искомый график $y = f(-0.5x)$.

Порядок этих преобразований также можно поменять.

Ответ: необходимо растянуть график $y=f(x)$ вдоль оси $Ox$ в 2 раза, а затем полученный график отразить симметрично относительно оси $Oy$.

3. Координаты точек $(x_1, y_1)$ графика функции $y = f(ax)$ связаны с координатами точек $(x_0, y_0)$ графика функции $y = f(x)$ следующим образом: при одинаковой ординате ($y_1=y_0$) абсциссы связаны соотношением $x_1 = x_0/a$.

3. а) если $a > 1$. В этом случае $0 < 1/a < 1$, поэтому $|x_1| = |x_0/a| < |x_0|$. Это означает, что каждая точка графика $y=f(x)$ смещается по горизонтали к оси $Oy$. Происходит сжатие графика вдоль оси $Ox$ в $a$ раз.

Пример: точка $(4, 16)$ лежит на графике $y = x^2$. Для функции $y = f(2x) = (2x)^2 = 4x^2$ (здесь $a=2 > 1$), соответствующая точка будет иметь координаты $(4/2, 16) = (2, 16)$. Действительно, $4 \cdot 2^2 = 16$.

Ответ: точка $(x_0, y_0)$ графика $y=f(x)$ переходит в точку $(x_0/a, y_0)$ графика $y=f(ax)$, что соответствует сжатию вдоль оси $Ox$ в $a$ раз.

3. б) если $0 < a < 1$. В этом случае $1/a > 1$, поэтому $|x_1| = |x_0/a| > |x_0|$. Это означает, что каждая точка графика $y=f(x)$ смещается по горизонтали от оси $Oy$. Происходит растяжение графика вдоль оси $Ox$ в $1/a$ раз.

Пример: точка $(2, 4)$ лежит на графике $y = x^2$. Для функции $y = f(0.5x) = (0.5x)^2 = 0.25x^2$ (здесь $a=0.5$, $0

Ответ: точка $(x_0, y_0)$ графика $y=f(x)$ переходит в точку $(x_0/a, y_0)$ графика $y=f(ax)$, что соответствует растяжению вдоль оси $Ox$ в $1/a$ раз.

3. в) если $a = -1$. В этом случае $x_1 = x_0/(-1) = -x_0$. Ордината остается той же, $y_1=y_0$. Преобразование $(x_0, y_0) \to (-x_0, y_0)$ является симметрией (отражением) относительно оси $Oy$.

Пример: точка $(3, \sqrt{3})$ лежит на графике $y=\sqrt{x}$. Для функции $y=f(-x)=\sqrt{-x}$ (здесь $a=-1$), соответствующая точка будет иметь координаты $(-3, \sqrt{3})$. Действительно, $\sqrt{-(-3)}=\sqrt{3}$.

Ответ: точка $(x_0, y_0)$ графика $y=f(x)$ переходит в точку $(-x_0, y_0)$ графика $y=f(ax)$, что соответствует симметрии относительно оси $Oy$.