Вопросы, страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. При каких значениях $a$ график функции $y = f(ax)$ получается из графика функции $y = f(x)$:
а) его растяжением вдоль оси $Ox$;
б) его сжатием вдоль оси $Ox$;
в) с помощью симметрии относительно оси $Oy$? Приведите примеры.

2. Как, используя график функции $y = f(x)$, построить график функции:
а) $y = f(-2x)$;
б) $y = f(-0,5x)$?

3. Как связаны координаты точек графиков функций $y = f(x)$ и $y = f(ax)$, если:
а) $a > 1$;
б) $0 < a < 1$;
в) $a = -1$? Приведите примеры.

1. Преобразования графика $y = f(ax)$ в зависимости от $a$

• а) Растяжение вдоль оси $Ox$: происходит при $0 < |a| < 1$. Чем меньше значение $|a|$, тем сильнее график «раздвигается» от оси $Oy$.
  Пример: $y = \sin(0,5x)$ — синусоида растянута в 2 раза.
  Ответ: $0 < |a| < 1$.
• б) Сжатие вдоль оси $Ox$: происходит при $|a| > 1$. График «прижимается» к оси $Oy$.
  Пример: $y = \sin(2x)$ — синусоида сжата в 2 раза.
  Ответ: $|a| > 1$.
• в) Симметрия относительно оси $Oy$: происходит при $a < 0$. Знак минус перед аргументом «зеркалит» правую часть графика на левую и наоборот.
  Пример: $y = \sqrt{-x}$ симметричен $y = \sqrt{x}$ относительно оси ординат.
  Ответ: $a < 0$.

2. Алгоритмы построения графиков

• а) $y = f(-2x)$:

  1. Сжать график $y = f(x)$ к оси $Oy$ в 2 раза (т.к. $|a|=2 > 1$).
  2. Отразить полученный график симметрично относительно оси $Oy$ (т.к. $a < 0$).

  Ответ: Сжатие к оси $Oy$ в 2 раза и симметрия относительно $Oy$.

• б) $y = f(-0,5x)$:

  1. Растянуть график $y = f(x)$ от оси $Oy$ в 2 раза (т.к. $|a|=0,5 < 1$).
  2. Отразить полученный график симметрично относительно оси $Oy$ (т.к. $a < 0$).

  Ответ: Растяжение от оси $Oy$ в 2 раза и симметрия относительно $Oy$.

3. Связь координат точек графиков

Если точка $(x_0; y_0)$ принадлежит графику $y = f(x)$, то соответствующая ей точка на графике $y = f(ax)$ будет иметь координаты $(\frac{x_0}{a}; y_0)$.

• а) $a > 1$: Абсцисса каждой точки уменьшается в $a$ раз, ордината остается прежней.
  Пример: Если у $y = x^2$ была точка $(2; 4)$, то у $y = (2x)^2$ это будет точка $(1; 4)$.
  Ответ: $x \to \frac{x}{a}$ (деление абсциссы на $a$).
• б) $0 < a < 1$: Абсцисса каждой точки увеличивается в $\frac{1}{a}$ раз.
  Пример: Если у $y = \sqrt{x}$ была точка $(1; 1)$, то у $y = \sqrt{0,5x}$ это будет точка $(2; 1)$.
  Ответ: $x \to \frac{x}{a}$ (умножение абсциссы на число $>1$).
• в) $a = -1$: Абсцисса меняет знак на противоположный, ордината не меняется.
  Пример: Точка $(3; 27)$ функции $y = x^3$ перейдет в точку $(-3; 27)$ функции $y = (-x)^3$.
  Ответ: $x \to -x$ (инверсия знака абсциссы).