Номер 5.7, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.7. Используя график функции $y = \sqrt{x}$, постройте график функции:

1) $y = \sqrt{2x}$;

2) $y = \sqrt{0,5x}$;

3) $y = \sqrt{-4x}$;

4) $y = \sqrt{-0,2x}$.

Для построения всех графиков используется базовый график функции $y = \sqrt{x}$. Этот график представляет собой ветвь параболы, начинающуюся в точке (0, 0) и проходящую через точки (1, 1), (4, 2) и (9, 3). Область определения функции $x \ge 0$.

Преобразуем функцию: $y = \sqrt{2x} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{x}$. Область определения функции: $2x \ge 0$, то есть $x \ge 0$. График этой функции можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ путем его растяжения вдоль оси ординат (OY) в $\sqrt{2}$ раз. Это означает, что для каждой точки на графике $y = \sqrt{x}$, ее ордината (y-координата) умножается на $\sqrt{2}$, а абсцисса (x-координата) остается неизменной. Например, точка (4, 2) на базовом графике переместится в точку (4, $2\sqrt{2}$).

Ответ: График функции $y = \sqrt{2x}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем растяжения вдоль оси OY в $\sqrt{2}$ раз.

Преобразуем функцию: $y = \sqrt{0.5x} = \sqrt{0.5} \cdot \sqrt{x}$. Область определения: $0.5x \ge 0$, то есть $x \ge 0$. График этой функции можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ путем его сжатия вдоль оси ординат (OY) в $\frac{1}{\sqrt{0.5}} = \sqrt{2}$ раз. Ордината каждой точки графика $y = \sqrt{x}$ умножается на $\sqrt{0.5} \approx 0.707$. Например, точка (4, 2) на базовом графике переместится в точку (4, $2\sqrt{0.5}$) или (4, $\sqrt{2}$).

Ответ: График функции $y = \sqrt{0.5x}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем сжатия вдоль оси OY в $\sqrt{2}$ раз.

Сначала найдем область определения функции: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $-4x \ge 0$, откуда $x \le 0$. Это означает, что график функции находится во второй координатной четверти. Преобразуем функцию: $y = \sqrt{-4x} = \sqrt{4 \cdot (-x)} = 2\sqrt{-x}$. Построение графика происходит в два этапа:1. Построить график $y = \sqrt{-x}$ путем симметричного отражения графика $y = \sqrt{x}$ относительно оси ординат (OY).2. Полученный график $y = \sqrt{-x}$ растянуть вдоль оси ординат (OY) в 2 раза.Например, точка (4, 2) на графике $y = \sqrt{x}$ сначала отражается в точку (-4, 2) на графике $y = \sqrt{-x}$, а затем растягивается в точку (-4, 4) на искомом графике.

Ответ: График функции $y = \sqrt{-4x}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем симметричного отражения относительно оси OY с последующим растяжением вдоль оси OY в 2 раза.

Область определения функции: $-0.2x \ge 0$, откуда $x \le 0$. График расположен во второй координатной четверти. Преобразуем функцию: $y = \sqrt{-0.2x} = \sqrt{0.2 \cdot (-x)} = \sqrt{0.2}\sqrt{-x}$. Построение графика происходит в два этапа:1. Построить график $y = \sqrt{-x}$ путем симметричного отражения графика $y = \sqrt{x}$ относительно оси ординат (OY).2. Полученный график $y = \sqrt{-x}$ сжать вдоль оси ординат (OY) в $\frac{1}{\sqrt{0.2}} = \sqrt{5}$ раз.Например, точка (1, 1) на графике $y = \sqrt{x}$ сначала отражается в точку (-1, 1) на графике $y = \sqrt{-x}$, а затем сжимается в точку (-1, $\sqrt{0.2}$) на искомом графике. Для получения целочисленной точки можно взять $x=-5$, тогда $y = \sqrt{-0.2 \cdot (-5)} = \sqrt{1} = 1$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{-0.2x}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем симметричного отражения относительно оси OY с последующим сжатием вдоль оси OY в $\sqrt{5}$ раз.