Номер 5.12, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.12.Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} x^2 - 3 \text{ при } x \ge 0, \\ 3-2x \text{ при } x \ge 0; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} x^2 + 3x \text{ при } x \ge 0, \\ \sqrt{-x} \text{ при } x < 0; \end{cases}$

1) Данная функция является кусочно-заданной. В условии, по всей видимости, допущена опечатка. Наиболее вероятный вид функции, который имелся в виду:

$y = \begin{cases} x^2 - 3 & \text{при } x \ge 0, \\ 3 - 2x & \text{при } x < 0. \end{cases}$

Построим график этой функции. Он состоит из двух частей.

Часть 1: $y = x^2 - 3$ при $x \ge 0$.

Это график параболы $y=x^2$, смещенной на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Ветви параболы направлены вверх. Вершина находится в точке $(0, -3)$. Так как мы рассматриваем область $x \ge 0$, нам нужна только правая ветвь параболы, включая вершину. Точка $(0, -3)$ является частью графика (закрашенная точка).

Найдем точки для построения:

• При $x = 0$, $y = 0^2 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.
• Найдем пересечение с осью Ox: $y=0 \implies x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3$. Так как $x \ge 0$, то $x = \sqrt{3} \approx 1.73$. Точка $(\sqrt{3}, 0)$.
• При $x = 2$, $y = 2^2 - 3 = 1$. Точка $(2, 1)$.

Часть 2: $y = 3 - 2x$ при $x < 0$.

Это график линейной функции, то есть прямая. Поскольку $x < 0$, мы строим луч.

Найдем точки для построения:

• Найдем предел функции при $x$, стремящемся к 0 слева: $\lim_{x \to 0^-} (3-2x) = 3$. Это означает, что луч начинается в точке $(0, 3)$, но сама точка не включается в график (она выколотая).
• При $x = -1$, $y = 3 - 2(-1) = 5$. Точка $(-1, 5)$.
• При $x = -2$, $y = 3 - 2(-2) = 7$. Точка $(-2, 7)$.

Соединив эти две части, мы получаем итоговый график.

Ответ: График функции состоит из двух частей. Первая часть — это луч, выходящий из выколотой точки $(0, 3)$ и проходящий через точки $(-1, 5)$ и $(-2, 7)$. Вторая часть — это правая ветвь параболы $y=x^2-3$, начинающаяся в точке $(0, -3)$ (вершина) и проходящая через точку $(\sqrt{3}, 0)$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв.

2) Построим график кусочно-заданной функции $y = \begin{cases} x^2 + 3x & \text{при } x \ge 0, \\ \sqrt{-x} & \text{при } x < 0. \end{cases}$

График состоит из двух частей, которые стыкуются в точке $x=0$.

Часть 1: $y = x^2 + 3x$ при $x \ge 0$.

Это график параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot 1} = -1.5$. Так как вершина находится в точке $x=-1.5$, а мы рассматриваем область $x \ge 0$, то на этом промежутке функция будет монотонно возрастать.

Найдем точки для построения:

• При $x = 0$, $y = 0^2 + 3(0) = 0$. Точка $(0, 0)$. Это точка "стыковки" двух частей графика.
• При $x = 1$, $y = 1^2 + 3(1) = 4$. Точка $(1, 4)$.
• При $x = 2$, $y = 2^2 + 3(2) = 10$. Точка $(2, 10)$.

Часть 2: $y = \sqrt{-x}$ при $x < 0$.

Эта функция определена при $-x \ge 0$, то есть при $x \le 0$, что соответствует нашему условию $x < 0$. График этой функции — это график функции $y=\sqrt{x}$, отраженный симметрично относительно оси Oy. Это ветвь параболы, "лежащей на боку", с вершиной в начале координат.

Найдем точки для построения:

• Проверим значение в точке стыковки. При $x \to 0$ слева, $y \to \sqrt{-0} = 0$. График подходит к точке $(0, 0)$. Поскольку первая часть графика также начинается в $(0,0)$, функция непрерывна.
• При $x = -1$, $y = \sqrt{-(-1)} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(-1, 1)$.
• При $x = -4$, $y = \sqrt{-(-4)} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(-4, 2)$.

Соединив эти две части в точке $(0, 0)$, мы получаем итоговый график.

Ответ: График функции является непрерывной линией, состоящей из двух частей, соединенных в начале координат $(0, 0)$. При $x < 0$ это ветвь параболы $y = \sqrt{-x}$, открывающейся влево и проходящая через точки $(-1, 1)$ и $(-4, 2)$. При $x \ge 0$ это возрастающая часть параболы $y = x^2 + 3x$, открывающейся вверх и проходящая через точки $(1, 4)$ и $(2, 10)$.