Номер 5.14, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5.14.Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 - x - 3 > x, \\ 3x + 5 \le -1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x^2 + 3 < 10x, \\ x^2 + 2 < 3x. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} x^2 - x - 3 > x, \\ 3x + 5 \le -1 \end{cases} $$ Для этого решим каждое неравенство по отдельности, а затем найдем пересечение их решений.

Решение первого неравенства:

$x^2 - x - 3 > x$

Переносим $x$ в левую часть:

$x^2 - 2x - 3 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

$x_1 + x_2 = 2$

$x_1 \cdot x_2 = -3$

Отсюда корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), ветви параболы $y = x^2 - 2x - 3$ направлены вверх. Неравенство $x^2 - 2x - 3 > 0$ выполняется, когда значения $x$ находятся вне интервала между корнями.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

Решение второго неравенства:

$3x + 5 \le -1$

Переносим 5 в правую часть:

$3x \le -1 - 5$

$3x \le -6$

Делим обе части на 3:

$x \le -2$

Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (-\infty; -2]$.

Нахождение решения системы:

Теперь найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $(-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$ и $(-\infty; -2]$.

Общей частью этих множеств является промежуток $(-\infty; -2]$.

Ответ: $(-\infty; -2]$.

2) Решим систему неравенств: $$ \begin{cases} 3x^2 + 3 < 10x, \\ x^2 + 2 < 3x \end{cases} $$ Для этого решим каждое неравенство по отдельности, а затем найдем пересечение их решений.

Решение первого неравенства:

$3x^2 + 3 < 10x$

Переносим $10x$ в левую часть:

$3x^2 - 10x + 3 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 10x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3>0$), ветви параболы $y = 3x^2 - 10x + 3$ направлены вверх. Неравенство $3x^2 - 10x + 3 < 0$ выполняется, когда значения $x$ находятся в интервале между корнями.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (\frac{1}{3}; 3)$.

Решение второго неравенства:

$x^2 + 2 < 3x$

Переносим $3x$ в левую часть:

$x^2 - 3x + 2 < 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = 3$

$x_1 \cdot x_2 = 2$

Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), ветви параболы $y = x^2 - 3x + 2$ направлены вверх. Неравенство $x^2 - 3x + 2 < 0$ выполняется, когда значения $x$ находятся в интервале между корнями.

Таким образом, решение второго неравенства: $x \in (1; 2)$.

Нахождение решения системы:

Теперь найдем пересечение множеств решений обоих неравенств: $(\frac{1}{3}; 3)$ и $(1; 2)$.

Общей частью этих интервалов является интервал $(1; 2)$.

Ответ: $(1; 2)$.