Номер 6.2, страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 6. Преобразования графиков функций. Глава 1. Функция, её свойства и график. Часть 1 - номер 6.2, страница 56.

Условие.

6.2. Постройте график функции:

1) $y = (x - 2)^2 - 3$;

2) $y = 4 - \sqrt{2+x}$;

3) $y = \sqrt{2-x} - 3$.

Решение 2 (rus).

1) Построим график функции $y = (x - 2)^2 - 3$.

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = x^2$ (стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$) с помощью последовательных преобразований:

1. Сдвиг графика $y = x^2$ на 2 единицы вправо по оси Ox. Получим график функции $y = (x - 2)^2$. Вершина этой параболы будет в точке $(2, 0)$.

2. Сдвиг полученного графика $y = (x - 2)^2$ на 3 единицы вниз по оси Oy. Получим график искомой функции $y = (x - 2)^2 - 3$.

Таким образом, график функции $y = (x - 2)^2 - 3$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(2, -3)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = 2$.

Для более точного построения найдем несколько точек, принадлежащих графику:

Если $x = 0$, то $y = (0-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Точка $(0, 1)$.

Если $x = 1$, то $y = (1-2)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка $(1, -2)$.

Если $x = 2$, то $y = (2-2)^2 - 3 = 0 - 3 = -3$. Точка $(2, -3)$ (вершина).

Если $x = 3$, то $y = (3-2)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка $(3, -2)$.

Если $x = 4$, то $y = (4-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$. Точка $(4, 1)$.

Ответ: Графиком функции является парабола с вершиной в точке $(2, -3)$, ветви которой направлены вверх.

2) Построим график функции $y = 4 - \sqrt{2+x}$.

Перепишем функцию в виде $y = -\sqrt{x+2} + 4$. График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ (ветвь параболы, выходящая из точки $(0,0)$ в первой координатной четверти) с помощью следующих преобразований:

1. Сдвиг графика $y = \sqrt{x}$ на 2 единицы влево по оси Ox. Получим график функции $y = \sqrt{x+2}$. Начальная точка сместится в $(-2, 0)$.

2. Симметричное отражение графика $y = \sqrt{x+2}$ относительно оси Ox. Получим график функции $y = -\sqrt{x+2}$. График будет расположен ниже оси Ox.

3. Сдвиг полученного графика $y = -\sqrt{x+2}$ на 4 единицы вверх по оси Oy. Получим график искомой функции $y = -\sqrt{x+2} + 4$.

Область определения функции: $2+x \ge 0 \implies x \ge -2$.

Область значений функции: $\sqrt{2+x} \ge 0 \implies -\sqrt{2+x} \le 0 \implies 4 - \sqrt{2+x} \le 4$, то есть $y \le 4$.

Таким образом, график функции $y = 4 - \sqrt{2+x}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(-2, 4)$ и идущая вправо и вниз.

Для более точного построения найдем несколько точек:

Если $x = -2$, то $y = 4 - \sqrt{2-2} = 4$. Точка $(-2, 4)$ (начальная точка).

Если $x = -1$, то $y = 4 - \sqrt{2-1} = 4 - 1 = 3$. Точка $(-1, 3)$.

Если $x = 2$, то $y = 4 - \sqrt{2+2} = 4 - 2 = 2$. Точка $(2, 2)$.

Если $x = 7$, то $y = 4 - \sqrt{2+7} = 4 - 3 = 1$. Точка $(7, 1)$.

Найдем точку пересечения с осью Ox: $y=0 \implies 4 - \sqrt{2+x} = 0 \implies \sqrt{2+x} = 4 \implies 2+x=16 \implies x=14$. Точка $(14, 0)$.

Ответ: Графиком функции является ветвь параболы с началом в точке $(-2, 4)$, направленная вправо и вниз.

3) Построим график функции $y = \sqrt{2-x} - 3$.

График этой функции можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ с помощью следующих преобразований:

1. Запишем подкоренное выражение как $2-x = -(x-2)$. Это означает два преобразования: сначала отражение, потом сдвиг.

2. Симметричное отражение графика $y = \sqrt{x}$ относительно оси Oy. Получим график функции $y = \sqrt{-x}$. График выходит из точки $(0,0)$ и идет влево и вверх.

3. Сдвиг графика $y = \sqrt{-x}$ на 2 единицы вправо по оси Ox. Получим график функции $y = \sqrt{-(x-2)} = \sqrt{2-x}$. Начальная точка сместится в $(2, 0)$.

4. Сдвиг полученного графика $y = \sqrt{2-x}$ на 3 единицы вниз по оси Oy. Получим график искомой функции $y = \sqrt{2-x} - 3$.

Область определения функции: $2-x \ge 0 \implies x \le 2$.

Область значений функции: $\sqrt{2-x} \ge 0 \implies \sqrt{2-x} - 3 \ge -3$, то есть $y \ge -3$.

Таким образом, график функции $y = \sqrt{2-x} - 3$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(2, -3)$ и идущая влево и вверх.

Для более точного построения найдем несколько точек:

Если $x = 2$, то $y = \sqrt{2-2} - 3 = -3$. Точка $(2, -3)$ (начальная точка).

Если $x = 1$, то $y = \sqrt{2-1} - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка $(1, -2)$.

Если $x = -2$, то $y = \sqrt{2-(-2)} - 3 = \sqrt{4} - 3 = 2 - 3 = -1$. Точка $(-2, -1)$.

Найдем точку пересечения с осью Oy: $x=0 \implies y = \sqrt{2-0} - 3 = \sqrt{2}-3 \approx -1.59$. Точка $(0, \sqrt{2}-3)$.

Найдем точку пересечения с осью Ox: $y=0 \implies \sqrt{2-x} - 3 = 0 \implies \sqrt{2-x} = 3 \implies 2-x=9 \implies x=-7$. Точка $(-7, 0)$.

Ответ: Графиком функции является ветвь параболы с началом в точке $(2, -3)$, направленная влево и вверх.