Номер 4.14, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.14. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{\frac{x - 2}{x^2 - 9}}$;

2) $y = \sqrt{\frac{2 - 3x}{x^2 - 1}}$;

3) $y = \frac{1}{x - 2} + \sqrt{\frac{x - 2}{x^2 - 9}}$;

4) $y = \frac{1}{x^2 - 4} + \sqrt{\frac{x^2 - 16}{x + 3}}$.

1) $y = \sqrt{\frac{x-2}{x^2-9}}$

Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Кроме того, знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Составим систему неравенств:

$\frac{x-2}{x^2-9} \ge 0$

$x^2-9 \ne 0$

Второе условие ($x \ne \pm 3$) автоматически учитывается при решении первого неравенства методом интервалов, так как корни знаменателя всегда являются выколотыми точками.

Решим неравенство $\frac{x-2}{(x-3)(x+3)} \ge 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя:

$x-2=0 \implies x=2$

$(x-3)(x+3)=0 \implies x=3, x=-3$

Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x=2$ будет закрашенной (неравенство нестрогое), а точки $x=-3$ и $x=3$ — выколотыми (знаменатель не может быть равен нулю).

Определим знаки выражения на интервалах: $(-\infty; -3)$, $(-3; 2]$, $[2; 3)$, $(3; +\infty)$.

• При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{+}{+\cdot+} > 0$.
• При $2 \le x < 3$ (например, $x=2.5$): $\frac{+}{-\cdot+} < 0$.
• При $-3 < x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{-}{-\cdot+} > 0$.
• При $x < -3$ (например, $x=-4$): $\frac{-}{-\cdot-} < 0$.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы $(-3; 2]$ и $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; 2] \cup (3; +\infty)$.

2) $y = \sqrt{\frac{2-3x}{x^2-1}}$

Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель — не равным нулю.

Решаем неравенство $\frac{2-3x}{x^2-1} \ge 0$.

Разложим знаменатель на множители: $\frac{2-3x}{(x-1)(x+1)} \ge 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя:

$2-3x=0 \implies x=\frac{2}{3}$

$(x-1)(x+1)=0 \implies x=1, x=-1$

Отметим точки на числовой оси: $x=-1$ (выколотая), $x=\frac{2}{3}$ (закрашенная), $x=1$ (выколотая).

Определим знаки на интервалах: $(-\infty; -1)$, $(-1; \frac{2}{3}]$, $[\frac{2}{3}; 1)$, $(1; +\infty)$.

• При $x > 1$ (например, $x=2$): $\frac{-}{+\cdot+} < 0$.
• При $\frac{2}{3} \le x < 1$ (например, $x=0.8$): $\frac{-}{-\cdot+} > 0$.
• При $-1 < x < \frac{2}{3}$ (например, $x=0$): $\frac{+}{-\cdot+} < 0$.
• При $x < -1$ (например, $x=-2$): $\frac{+}{-\cdot-} > 0$.

Выбираем промежутки, где выражение больше или равно нулю. Это $(-\infty; -1)$ и $[\frac{2}{3}; 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup [\frac{2}{3}; 1)$.

3) $y = \frac{1}{x-2} + \sqrt{\frac{x-2}{x^2-9}}$

Область определения этой функции является пересечением областей определения двух слагаемых.

Для первого слагаемого $\frac{1}{x-2}$ знаменатель не должен быть равен нулю: $x-2 \ne 0 \implies x \ne 2$.

Для второго слагаемого $\sqrt{\frac{x-2}{x^2-9}}$ область определения была найдена в пункте 1): $x \in (-3; 2] \cup (3; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этих двух условий. Мы должны взять множество $x \in (-3; 2] \cup (3; +\infty)$ и исключить из него точку $x=2$.

Интервал $(-3; 2]$ содержит точку $x=2$. Исключив ее, получим интервал $(-3; 2)$.

Интервал $(3; +\infty)$ не содержит точку $x=2$, поэтому он остается без изменений.

Объединяя результаты, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in (-3; 2) \cup (3; +\infty)$.

4) $y = \frac{1}{x^2-4} + \sqrt{\frac{x^2-16}{x+3}}$

Область определения является пересечением областей определения двух слагаемых.

Для первого слагаемого $\frac{1}{x^2-4}$ знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2-4 \ne 0 \implies (x-2)(x+2) \ne 0 \implies x \ne 2$ и $x \ne -2$.

Для второго слагаемого $\sqrt{\frac{x^2-16}{x+3}}$ решаем неравенство $\frac{x^2-16}{x+3} \ge 0$.

Разложим числитель на множители: $\frac{(x-4)(x+4)}{x+3} \ge 0$.

Нули числителя и знаменателя: $x=4, x=-4, x=-3$.

Отметим точки на числовой оси: $x=-4$ (закрашенная), $x=-3$ (выколотая), $x=4$ (закрашенная).

Определим знаки на интервалах: $(-\infty; -4]$, $[-4; -3)$, $(-3; 4]$, $[4; +\infty)$.

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{+\cdot+}{+} > 0$.
• При $-3 < x \le 4$ (например, $x=0$): $\frac{-\cdot+}{+} < 0$.
• При $-4 \le x < -3$ (например, $x=-3.5$): $\frac{-\cdot+}{-} > 0$.
• При $x < -4$ (например, $x=-5$): $\frac{-\cdot-}{-} < 0$.

Выбираем промежутки, где выражение больше или равно нулю: $[-4; -3) \cup [4; +\infty)$.

Теперь объединим все условия. Область определения второго слагаемого: $x \in [-4; -3) \cup [4; +\infty)$. Условия для первого слагаемого: $x \ne 2$ и $x \ne -2$.

Проверим, входят ли точки $x=2$ и $x=-2$ в найденную область. Точка $x=2$ не входит ни в один из интервалов. Точка $x=-2$ также не входит. Следовательно, дополнительные ограничения не изменяют полученное множество.

Ответ: $x \in [-4; -3) \cup [4; +\infty)$.