Номер 4.8, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.8. Какие преобразования надо выполнить для построения графика функции:

1) $y = 2 + \frac{3}{x-2}$;

2) $y = 3 - \frac{1}{x+1}$;

3) $y = \frac{3x-1}{x}$?

Постройте эти графики.

1) $y = 2 + \frac{3}{x-2}$

Для построения графика этой функции необходимо выполнить следующие преобразования, исходя из базовой функции - гиперболы $y = \frac{1}{x}$.

1. Взять график функции $y = \frac{1}{x}$.

2. Растянуть его вдоль оси $OY$ в 3 раза. Получим график функции $y = \frac{3}{x}$. Ветви этой гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.

3. Сдвинуть (параллельный перенос) полученный график $y = \frac{3}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси $OX$. Получим график функции $y = \frac{3}{x-2}$. Вертикальная асимптота сместится из $x=0$ в $x=2$.

4. Сдвинуть (параллельный перенос) полученный график $y = \frac{3}{x-2}$ на 2 единицы вверх вдоль оси $OY$. Получим искомый график функции $y = 2 + \frac{3}{x-2}$. Горизонтальная асимптота сместится из $y=0$ в $y=2$.

В результате мы получим гиперболу с асимптотами $x=2$ и $y=2$. Ветви гиперболы находятся в новых I и III четвертях, образованных этими асимптотами.

Ответ: Для построения графика функции $y = 2 + \frac{3}{x-2}$ нужно взять график функции $y = \frac{3}{x}$ и выполнить его параллельный перенос на 2 единицы вправо по оси $OX$ и на 2 единицы вверх по оси $OY$.

2) $y = 3 - \frac{1}{x+1}$

Для построения графика этой функции, исходя из базовой гиперболы $y = \frac{1}{x}$, нужно выполнить следующие преобразования.

1. Взять график функции $y = \frac{1}{x}$.

2. Сдвинуть его на 1 единицу влево вдоль оси $OX$. Получим график функции $y = \frac{1}{x+1}$. Вертикальная асимптота сместится в $x=-1$.

3. Отобразить полученный график $y = \frac{1}{x+1}$ симметрично относительно оси $OX$. Получим график функции $y = -\frac{1}{x+1}$. Ветви гиперболы, которые были в I и III четвертях относительно асимптот, переместятся во II и IV.

4. Сдвинуть полученный график $y = -\frac{1}{x+1}$ на 3 единицы вверх вдоль оси $OY$. Получим искомый график $y = 3 - \frac{1}{x+1}$. Горизонтальная асимптота сместится в $y=3$.

В результате мы получим гиперболу с асимптотами $x=-1$ и $y=3$. Ветви гиперболы находятся во II и IV четвертях, образованных этими асимптотами.

Ответ: Для построения графика функции $y = 3 - \frac{1}{x+1}$ нужно взять график функции $y = -\frac{1}{x}$, выполнить его параллельный перенос на 1 единицу влево по оси $OX$ и на 3 единицы вверх по оси $OY$.

3) $y = \frac{3x-1}{x}$

Сначала преобразуем данную функцию, выделив целую часть.

$y = \frac{3x-1}{x} = \frac{3x}{x} - \frac{1}{x} = 3 - \frac{1}{x}$

Теперь видно, что для построения графика этой функции, исходя из базовой гиперболы $y = \frac{1}{x}$, нужно выполнить следующие преобразования.

1. Взять график функции $y = \frac{1}{x}$.

2. Отобразить его симметрично относительно оси $OX$. Получим график функции $y = -\frac{1}{x}$. Ветви гиперболы переместятся из I и III координатных четвертей во II и IV.

3. Сдвинуть (параллельный перенос) полученный график $y = -\frac{1}{x}$ на 3 единицы вверх вдоль оси $OY$. Получим искомый график $y = 3 - \frac{1}{x}$. Горизонтальная асимптота сместится из $y=0$ в $y=3$, а вертикальная асимптота $x=0$ останется на месте.

В результате мы получим гиперболу с асимптотами $x=0$ и $y=3$. Ветви гиперболы находятся во II и IV координатных четвертях относительно исходной системы координат.

Ответ: Для построения графика функции $y = \frac{3x-1}{x}$ нужно преобразовать ее к виду $y = 3 - \frac{1}{x}$, затем взять график функции $y = -\frac{1}{x}$ и выполнить его параллельный перенос на 3 единицы вверх по оси $OY$.