Номер 7.18, страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.18. Исследуйте на четность функцию:

1) $y = -6x + x^2;$

2) $y = |x| - x^3;$

3) $y = \sqrt{x^4 + 1} + 12 |x|;$

4) $y = 0,7x^3 - x|x|;$

5) $y = -\frac{1}{x^2 - 5} + x;$

6) $y = x - \frac{x}{x^3 + 1};$

7) $y = \frac{4x}{x^4 - 2};$

8) $y = \frac{9+x^2}{x^3}.$

Для исследования функции $y = f(x)$ на четность необходимо:

1. Проверить, является ли ее область определения $D(f)$ симметричной относительно начала координат (т.е. если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$). Если область определения несимметрична, функция не является ни четной, ни нечетной.

2. Если область определения симметрична, найти значение функции от $-x$, то есть $f(-x)$.

3. Сравнить $f(-x)$ с $f(x)$:

• если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция четная;
• если $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция нечетная;
• если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция ни четная, ни нечетная (функция общего вида).

1) $y = -6x + x^2$

Обозначим $f(x) = -6x + x^2$. Область определения функции $D(f) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно начала координат.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = -6(-x) + (-x)^2 = 6x + x^2$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = 6x + x^2 \neq f(x)$

$-f(x) = -(-6x + x^2) = 6x - x^2$.

$f(-x) = 6x + x^2 \neq -f(x)$.

Так как ни одно из условий четности/нечетности не выполняется, функция является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

2) $y = |x| - x^3$

Обозначим $f(x) = |x| - x^3$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = |-x| - (-x)^3 = |x| - (-x^3) = |x| + x^3$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = |x| + x^3 \neq f(x)$.

$-f(x) = -(|x| - x^3) = -|x| + x^3$.

$f(-x) = |x| + x^3 \neq -f(x)$.

Функция является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

3) $y = \sqrt{x^4 + 1} + 12|x|$

Обозначим $f(x) = \sqrt{x^4 + 1} + 12|x|$. Так как $x^4+1 > 0$ для любого действительного $x$, область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \sqrt{(-x)^4 + 1} + 12|-x| = \sqrt{x^4 + 1} + 12|x|$.

Видим, что $f(-x) = f(x)$. Следовательно, функция является четной.

Ответ: четная.

4) $y = 0,7x^3 - x|x|$

Обозначим $f(x) = 0,7x^3 - x|x|$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = 0,7(-x)^3 - (-x)|-x| = 0,7(-x^3) - (-x)|x| = -0,7x^3 + x|x|$.

Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:

$-f(x) = -(0,7x^3 - x|x|) = -0,7x^3 + x|x|$.

Видим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

5) $y = -\frac{1}{x^2 - 5} + x$

Обозначим $f(x) = -\frac{1}{x^2 - 5} + x$. Область определения задается условием $x^2 - 5 \neq 0$, то есть $x \neq \pm\sqrt{5}$. Область $D(f) = (-\infty; -\sqrt{5}) \cup (-\sqrt{5}; \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$ симметрична.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = -\frac{1}{(-x)^2 - 5} + (-x) = -\frac{1}{x^2 - 5} - x$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(-x) = -\frac{1}{x^2 - 5} - x \neq f(x)$.

$-f(x) = -(-\frac{1}{x^2 - 5} + x) = \frac{1}{x^2 - 5} - x$.

$f(-x) \neq -f(x)$.

Функция является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

6) $y = x - \frac{x}{x^3 + 1}$

Обозначим $f(x) = x - \frac{x}{x^3 + 1}$. Область определения задается условием $x^3 + 1 \neq 0$, то есть $x^3 \neq -1$, откуда $x \neq -1$.

Область определения $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат, так как точка $x=1$ принадлежит области определения, а точка $x=-1$ — нет.

Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: ни четная, ни нечетная.

7) $y = \frac{4x}{x^4 - 2}$

Обозначим $f(x) = \frac{4x}{x^4 - 2}$. Область определения задается условием $x^4 - 2 \neq 0$, то есть $x^4 \neq 2$, откуда $x \neq \pm\sqrt[4]{2}$. Область $D(f) = (-\infty; -\sqrt[4]{2}) \cup (-\sqrt[4]{2}; \sqrt[4]{2}) \cup (\sqrt[4]{2}; +\infty)$ симметрична.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{4(-x)}{(-x)^4 - 2} = \frac{-4x}{x^4 - 2} = - \frac{4x}{x^4 - 2}$.

Видим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

8) $y = \frac{9 + x^2}{x^3}$

Обозначим $f(x) = \frac{9 + x^2}{x^3}$. Область определения задается условием $x^3 \neq 0$, то есть $x \neq 0$. Область $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{9 + (-x)^2}{(-x)^3} = \frac{9 + x^2}{-x^3} = - \frac{9 + x^2}{x^3}$.

Видим, что $f(-x) = -f(x)$. Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.