Номер 7.34, страница 70, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

7.34. Найдите точки минимума и максимума, построив график функции:

1) $y = |\sqrt{x-2}-1|;$

2) $y = |\sqrt{3-x}-2|;$

3) $y = |4-\sqrt{2x-3}|.$

1) $y = |\sqrt{x-2}-1|$

Для нахождения точек минимума и максимума, а также для построения графика функции, выполним последовательность преобразований.

1. Найдём область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $x-2 \ge 0$, следовательно, $x \ge 2$. Область определения $D(y) = [2; +\infty)$.

2. Построим график вспомогательной функции $f(x) = \sqrt{x-2}-1$. Это стандартный график функции $y=\sqrt{x}$, смещенный на 2 единицы вправо по оси Ox и на 1 единицу вниз по оси Oy. Начало графика находится в точке $(2, -1)$.

3. Найдём нули функции $f(x)$: $\sqrt{x-2}-1 = 0 \implies \sqrt{x-2} = 1 \implies x-2 = 1 \implies x=3$. График $f(x)$ пересекает ось абсцисс в точке $(3, 0)$.

4. График исходной функции $y = |\sqrt{x-2}-1|$ получается из графика $f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая лежит ниже этой оси.

- На промежутке $[2, 3)$ значения $f(x)$ отрицательны, поэтому эта часть графика отражается вверх. Точка $(2, -1)$ переходит в точку $(2, 1)$.

- На промежутке $[3, +\infty)$ значения $f(x)$ неотрицательны, поэтому эта часть графика остается без изменений.

5. Из полученного графика видно, что:

- В точке $x=3$ функция достигает своего наименьшего значения, равного 0. Это точка минимума.

- В точке $x=2$ (на границе области определения) функция имеет локальный максимум, значение которого равно $y(2) = |\sqrt{2-2}-1| = |-1| = 1$.

График функции начинается в точке $(2,1)$, убывает до точки $(3,0)$, а затем возрастает.

Ответ: Точка минимума $x_{min}=3$, точка максимума $x_{max}=2$.

2) $y = |\sqrt{3-x}-2|$

1. Область определения: $3-x \ge 0 \implies x \le 3$. $D(y) = (-\infty; 3]$.

2. Построим график вспомогательной функции $f(x) = \sqrt{3-x}-2$. Это график функции $y=\sqrt{-x}$ (симметричный $y=\sqrt{x}$ относительно оси Oy), смещенный на 3 единицы вправо по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy. Конечная точка графика - $(3, -2)$.

3. Найдём нули функции $f(x)$: $\sqrt{3-x}-2 = 0 \implies \sqrt{3-x} = 2 \implies 3-x = 4 \implies x=-1$. График $f(x)$ пересекает ось абсцисс в точке $(-1, 0)$.

4. Чтобы получить график $y = |\sqrt{3-x}-2|$, отражаем часть графика $f(x)$, лежащую ниже оси Ox (на промежутке $(-1, 3]$), симметрично относительно этой оси.

- Точка $(3, -2)$ переходит в точку $(3, 2)$.

- Часть графика на промежутке $(-\infty, -1]$ остается без изменений.

5. Анализируя полученный график, заключаем:

- В точке $x=-1$ функция достигает минимума, равного 0.

- В точке $x=3$ (на границе области определения) функция имеет локальный максимум, равный $y(3) = |\sqrt{3-3}-2| = |-2| = 2$.

График функции убывает из бесконечности до точки $(-1,0)$, а затем возрастает до точки $(3,2)$.

Ответ: Точка минимума $x_{min}=-1$, точка максимума $x_{max}=3$.

3) $y = |4-\sqrt{2x-3}|$

1. Область определения: $2x-3 \ge 0 \implies 2x \ge 3 \implies x \ge 1.5$. $D(y) = [1.5; +\infty)$.

2. Построим график вспомогательной функции $f(x) = 4-\sqrt{2x-3}$. Это график функции $y=-\sqrt{2x}$ (сжатый к оси Oy и отраженный относительно оси Ox), смещенный на 1.5 единицы вправо и на 4 единицы вверх. Начальная точка графика - $(1.5, 4)$.

3. Найдём нули функции $f(x)$: $4-\sqrt{2x-3} = 0 \implies \sqrt{2x-3} = 4 \implies 2x-3 = 16 \implies 2x=19 \implies x=9.5$. График $f(x)$ пересекает ось абсцисс в точке $(9.5, 0)$.

4. Применяем модуль. Часть графика $f(x)$ на промежутке $[1.5, 9.5]$ лежит выше оси Ox и остается без изменений. Часть графика на промежутке $(9.5, +\infty)$, где $f(x)$ отрицательна, отражается симметрично относительно оси Ox.

5. Из графика функции $y=|4-\sqrt{2x-3}|$ видно:

- В точке $x=1.5$ (на границе области определения) функция имеет локальный максимум, значение которого $y(1.5) = |4-\sqrt{2 \cdot 1.5 - 3}| = |4-0|=4$.

- В точке $x=9.5$ функция достигает минимума, равного 0.

График функции начинается в точке $(1.5, 4)$, убывает до точки $(9.5, 0)$, а затем возрастает.

Ответ: Точка минимума $x_{min}=9.5$, точка максимума $x_{max}=1.5$.