Номер 10.17, страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

10.17.Найдите значение выражения:

1) $cos(\alpha + \beta)$, если $\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}$ и $\alpha - \beta = \frac{7\pi}{2};$

2) $cos(\alpha - \beta)$, если $\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{4};$ $\alpha + \beta = \frac{5\pi}{2};$

3) $\sqrt{2} cos(\alpha - \beta)$, если $\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{3};$ $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}.$

1) Для решения задачи используем формулы сложения для косинуса:

$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$

$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$

Из условия нам дано, что $\alpha - \beta = \frac{7\pi}{2}$. Найдем значение $cos(\alpha - \beta)$:

$cos(\alpha - \beta) = cos(\frac{7\pi}{2}) = cos(3\pi + \frac{\pi}{2}) = cos(\pi + \frac{\pi}{2}) = -cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Теперь подставим это значение и данное значение $sin\alpha sin\beta = \frac{1}{2}$ в формулу косинуса разности:

$0 = cos\alpha cos\beta + \frac{1}{2}$

Отсюда находим $cos\alpha cos\beta$:

$cos\alpha cos\beta = -\frac{1}{2}$

Теперь мы можем найти значение $cos(\alpha + \beta)$, подставив известные величины в формулу косинуса суммы:

$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$.

Ответ: -1.

2) Используем те же формулы сложения для косинуса.

Из условия нам дано, что $\alpha + \beta = \frac{5\pi}{2}$. Найдем значение $cos(\alpha + \beta)$:

$cos(\alpha + \beta) = cos(\frac{5\pi}{2}) = cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Подставим это значение и данное значение $sin\alpha sin\beta = \frac{1}{4}$ в формулу косинуса суммы:

$0 = cos\alpha cos\beta - \frac{1}{4}$

Отсюда находим $cos\alpha cos\beta$:

$cos\alpha cos\beta = \frac{1}{4}$

Теперь мы можем найти искомое значение $cos(\alpha - \beta)$, подставив известные величины в формулу косинуса разности:

$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

3) Снова используем формулы сложения для косинуса.

Из условия нам дано, что $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$. Найдем значение $cos(\alpha + \beta)$:

$cos(\alpha + \beta) = cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Подставим это значение и данное значение $cos\alpha cos\beta = \frac{1}{3}$ в формулу косинуса суммы:

$0 = \frac{1}{3} - sin\alpha sin\beta$

Отсюда находим $sin\alpha sin\beta$:

$sin\alpha sin\beta = \frac{1}{3}$

Теперь найдем значение $cos(\alpha - \beta)$, подставив известные величины в формулу косинуса разности:

$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Наконец, найдем значение искомого выражения $\sqrt{2}cos(\alpha - \beta)$:

$\sqrt{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.