Номер 11.10, страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.10. Постройте график функции, используя программу “Живая математика” или “GeoGebra”. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $y = 1 + 2\sin\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$;

2) $y = 2 - \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$;

3) $y = 1 - \sin\left(x - \frac{3\pi}{4}\right)$.

1) Для функции $y = 1 + 2\sin(x - \frac{\pi}{3})$. График этой функции получается из графика $y = \sin(x)$ следующими преобразованиями: сдвиг вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$, растяжение вдоль оси OY в 2 раза и сдвиг вверх по оси OY на 1. Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции: $y' = (1 + 2\sin(x - \frac{\pi}{3}))' = 2\cos(x - \frac{\pi}{3})$.

Функция возрастает, когда ее производная положительна: $y' > 0$, то есть $2\cos(x - \frac{\pi}{3}) > 0$, или $\cos(x - \frac{\pi}{3}) > 0$. Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса находится в интервале $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Прибавив $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям, получаем:

$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.

Следовательно, промежутки возрастания функции: $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда ее производная отрицательна: $y' < 0$, то есть $\cos(x - \frac{\pi}{3}) < 0$. Это неравенство выполняется, когда аргумент косинуса находится в интервале $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x - \frac{\pi}{3} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

Прибавив $\frac{\pi}{3}$ ко всем частям, получаем:

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$.

Следовательно, промежутки убывания функции: $[\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{11\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k]$ и убывает на промежутках $[\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{11\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Для функции $y = 2 - \sin(x + \frac{\pi}{3})$. График этой функции получается из графика $y = \sin(x)$ следующими преобразованиями: сдвиг влево по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$, симметричное отражение относительно оси Ox и сдвиг вверх по оси OY на 2. Для нахождения промежутков монотонности найдем производную: $y' = (2 - \sin(x + \frac{\pi}{3}))' = -\cos(x + \frac{\pi}{3})$.

Функция возрастает при $y' > 0$, то есть $-\cos(x + \frac{\pi}{3}) > 0$, или $\cos(x + \frac{\pi}{3}) < 0$. Это неравенство выполняется, когда $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{3} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Вычтем $\frac{\pi}{3}$ из всех частей:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$.

Промежутки возрастания: $[\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает при $y' < 0$, то есть $-\cos(x + \frac{\pi}{3}) < 0$, или $\cos(x + \frac{\pi}{3}) > 0$. Это неравенство выполняется, когда $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x + \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Вычтем $\frac{\pi}{3}$ из всех частей:

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.

Промежутки убывания: $[-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k]$ и убывает на промежутках $[-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) Для функции $y = 1 - \sin(x - \frac{3\pi}{4})$. График этой функции получается из графика $y = \sin(x)$ следующими преобразованиями: сдвиг вправо по оси Ox на $\frac{3\pi}{4}$, симметричное отражение относительно оси Ox и сдвиг вверх по оси OY на 1. Для нахождения промежутков монотонности найдем производную: $y' = (1 - \sin(x - \frac{3\pi}{4}))' = -\cos(x - \frac{3\pi}{4})$.

Функция возрастает при $y' > 0$, то есть $-\cos(x - \frac{3\pi}{4}) > 0$, или $\cos(x - \frac{3\pi}{4}) < 0$. Это неравенство выполняется, когда $\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x - \frac{3\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Прибавим $\frac{3\pi}{4}$ ко всем частям:

$\frac{5\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{9\pi}{4} + 2\pi k$.

Промежутки возрастания: $[\frac{5\pi}{4} + 2\pi k; \frac{9\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает при $y' < 0$, то есть $-\cos(x - \frac{3\pi}{4}) < 0$, или $\cos(x - \frac{3\pi}{4}) > 0$. Это неравенство выполняется, когда $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x - \frac{3\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Прибавим $\frac{3\pi}{4}$ ко всем частям:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

Промежутки убывания: $[\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{5\pi}{4} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{5\pi}{4} + 2\pi k; \frac{9\pi}{4} + 2\pi k]$ и убывает на промежутках $[\frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{5\pi}{4} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.