Номер 11.14, страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

11.14. Используя преобразования, постройте график и найдите промежутки возрастания функции:

1) $y = 3 + \sin \left( 4x + \frac{4\pi}{3} \right)$;

2) $y = 2\sin(3x - 4) - 1$;

3) $y = -2\sin \left( 4x + \frac{4\pi}{3} \right).$

1) $y = 3 + \sin(4x + \frac{4\pi}{3})$

Запишем функцию в виде $y = \sin(4(x + \frac{\pi}{3})) + 3$.

График этой функции можно получить из графика основной функции $y_0 = \sin(x)$ с помощью следующих последовательных преобразований:

1. Сжатие графика по оси абсцисс (оси $Ox$) в 4 раза. Получим график функции $y_1 = \sin(4x)$. Период функции станет $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

2. Сдвиг полученного графика влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$. Получим график функции $y_2 = \sin(4(x + \frac{\pi}{3}))$.

3. Сдвиг полученного графика вверх вдоль оси ординат (оси $Oy$) на 3 единицы. Получим искомый график функции $y = \sin(4(x + \frac{\pi}{3})) + 3$.

Для нахождения промежутков возрастания функции, воспользуемся тем, что функция $y = \sin(t)$ возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$. В нашем случае аргумент $t = 4x + \frac{4\pi}{3}$.

Следовательно, нам нужно решить двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 4x + \frac{4\pi}{3} \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Вычтем $\frac{4\pi}{3}$ из всех частей неравенства:

$-\frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \le 4x \le \frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$

$-\frac{3\pi + 8\pi}{6} + 2\pi k \le 4x \le \frac{3\pi - 8\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{11\pi}{6} + 2\pi k \le 4x \le -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим все части неравенства на 4:

$-\frac{11\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} \le x \le -\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$.

Ответ: промежутки возрастания функции: $[-\frac{11\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, -\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = 2\sin(3x - 4) - 1$

Запишем функцию в виде $y = 2\sin(3(x - \frac{4}{3})) - 1$.

График этой функции можно получить из графика основной функции $y_0 = \sin(x)$ с помощью следующих последовательных преобразований:

1. Сжатие графика по оси $Ox$ в 3 раза. Получим график функции $y_1 = \sin(3x)$. Период функции станет $T = \frac{2\pi}{3}$.

2. Сдвиг полученного графика вправо вдоль оси $Ox$ на $\frac{4}{3}$. Получим график функции $y_2 = \sin(3(x - \frac{4}{3}))$.

3. Растяжение полученного графика вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Получим график функции $y_3 = 2\sin(3(x - \frac{4}{3}))$. Амплитуда станет равной 2.

4. Сдвиг полученного графика вниз вдоль оси $Oy$ на 1 единицу. Получим искомый график функции $y = 2\sin(3(x - \frac{4}{3})) - 1$.

Для нахождения промежутков возрастания функции, учтем, что коэффициент перед синусом (2) положительный. Значит, функция возрастает на тех же промежутках, где возрастает $\sin(t)$. Функция $y = \sin(t)$ возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $t = 3x - 4$.

Решим двойное неравенство:

$-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 3x - 4 \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Прибавим 4 ко всем частям неравенства:

$4 - \frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 3x \le 4 + \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Разделим все части неравенства на 3:

$\frac{4}{3} - \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \le x \le \frac{4}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}$.

Ответ: промежутки возрастания функции: $[\frac{4}{3} - \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, \frac{4}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) $y = -2\sin(4x + \frac{4\pi}{3})$

Запишем функцию в виде $y = -2\sin(4(x + \frac{\pi}{3}))$.

График этой функции можно получить из графика основной функции $y_0 = \sin(x)$ с помощью следующих последовательных преобразований:

1. Сжатие графика по оси $Ox$ в 4 раза. Получим график функции $y_1 = \sin(4x)$. Период функции станет $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

2. Сдвиг полученного графика влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{3}$. Получим график функции $y_2 = \sin(4(x + \frac{\pi}{3}))$.

3. Растяжение полученного графика вдоль оси $Oy$ в 2 раза. Получим график функции $y_3 = 2\sin(4(x + \frac{\pi}{3}))$. Амплитуда станет равной 2.

4. Симметричное отражение полученного графика относительно оси $Ox$. Получим искомый график функции $y = -2\sin(4(x + \frac{\pi}{3}))$.

Для нахождения промежутков возрастания функции, учтем, что коэффициент перед синусом (-2) отрицательный. Это значит, что функция возрастает там, где функция $y = \sin(t)$ убывает. Функция $y = \sin(t)$ убывает на промежутках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $t = 4x + \frac{4\pi}{3}$.

Решим двойное неравенство:

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k \le 4x + \frac{4\pi}{3} \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Вычтем $\frac{4\pi}{3}$ из всех частей неравенства:

$\frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \le 4x \le \frac{3\pi}{2} - \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$

$\frac{3\pi - 8\pi}{6} + 2\pi k \le 4x \le \frac{9\pi - 8\pi}{6} + 2\pi k$

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \le 4x \le \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим все части неравенства на 4:

$-\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2} \le x \le \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}$.

Ответ: промежутки возрастания функции: $[-\frac{5\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}, \frac{\pi}{24} + \frac{\pi k}{2}]$, где $k \in \mathbb{Z}$.