Номер 12.16, страница 100, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.16. Используя алгоритм, постройте график функции:

1) $y = \cos \left(2x + \frac{2\pi}{3}\right)$;

2) $y = \cos(3x - 4)$;

3) $y = \cos \left(4x + \frac{4\pi}{3}\right)$.

1) Для построения графика функции $y = \cos(2x + \frac{2\pi}{3})$ используется алгоритм преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$.

Сначала преобразуем данную функцию, вынеся коэффициент при $x$ за скобки, чтобы явно увидеть сдвиг: $y = \cos(2(x + \frac{\pi}{3}))$.

Алгоритм построения состоит из следующих шагов:

1. Начинаем с построения графика основной функции $y = \cos(x)$. Это стандартная косинусоида с периодом $T=2\pi$, амплитудой 1, проходящая через ключевые точки $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$.

2. Следующий шаг — построение графика $y = \cos(2x)$. Этот график получается из графика $y = \cos(x)$ путем сжатия по горизонтали (к оси Oy) в 2 раза. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T' = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Ключевые точки одного периода теперь: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{4}, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, -1)$, $(\frac{3\pi}{4}, 0)$, $(\pi, 1)$.

3. Заключительный шаг — построение графика $y = \cos(2(x + \frac{\pi}{3}))$. Этот график получается из графика $y = \cos(2x)$ путем сдвига по горизонтали (вдоль оси Ox) влево на величину $\frac{\pi}{3}$. Каждая точка графика $y = \cos(2x)$ смещается влево на $\frac{\pi}{3}$. Например, точка максимума $(0, 1)$ переместится в точку $(-\frac{\pi}{3}, 1)$, а точка минимума $(\frac{\pi}{2}, -1)$ — в точку $(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}, -1) = (\frac{\pi}{6}, -1)$.

Ответ: График функции $y = \cos(2x + \frac{2\pi}{3})$ получается из графика $y = \cos(x)$ путем сжатия к оси Oy в 2 раза (период становится $\pi$) и последующего сдвига влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.

2) Для построения графика функции $y = \cos(3x - 4)$ используется алгоритм преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$.

Преобразуем функцию, вынеся коэффициент 3 за скобки: $y = \cos(3(x - \frac{4}{3}))$.

Алгоритм построения:

1. Строим график базовой функции $y = \cos(x)$ с периодом $T=2\pi$ и амплитудой 1.

2. Строим график функции $y = \cos(3x)$. Он получается из графика $y = \cos(x)$ путем сжатия по горизонтали в 3 раза. Период функции становится $T' = \frac{2\pi}{3}$. Ключевые точки одного периода: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{6}, 0)$, $(\frac{\pi}{3}, -1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\frac{2\pi}{3}, 1)$.

3. Строим график функции $y = \cos(3(x - \frac{4}{3}))$. Он получается из графика $y = \cos(3x)$ путем сдвига по горизонтали вправо на $\frac{4}{3}$. Каждая точка графика $y = \cos(3x)$ смещается вправо на $\frac{4}{3}$. Например, точка максимума $(0, 1)$ переместится в точку $(\frac{4}{3}, 1)$, а точка минимума $(\frac{\pi}{3}, -1)$ — в точку $(\frac{\pi}{3} + \frac{4}{3}, -1)$.

Ответ: График функции $y = \cos(3x - 4)$ получается из графика $y = \cos(x)$ путем сжатия к оси Oy в 3 раза (период становится $\frac{2\pi}{3}$) и последующего сдвига вправо вдоль оси Ox на $\frac{4}{3}$.

3) Для построения графика функции $y = \cos(4x + \frac{4\pi}{3})$ используется алгоритм преобразования графика базовой функции $y = \cos(x)$.

Преобразуем функцию, вынеся коэффициент 4 за скобки: $y = \cos(4(x + \frac{\pi}{3}))$.

Алгоритм построения:

1. Строим график базовой функции $y = \cos(x)$ с периодом $T=2\pi$ и амплитудой 1.

2. Строим график функции $y = \cos(4x)$. Он получается из графика $y = \cos(x)$ путем сжатия по горизонтали в 4 раза. Период функции становится $T' = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$. Ключевые точки одного периода: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{8}, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, -1)$, $(\frac{3\pi}{8}, 0)$, $(\frac{\pi}{2}, 1)$.

3. Строим график функции $y = \cos(4(x + \frac{\pi}{3}))$. Он получается из графика $y = \cos(4x)$ путем сдвига по горизонтали влево на $\frac{\pi}{3}$. Каждая точка графика $y = \cos(4x)$ смещается влево на $\frac{\pi}{3}$. Например, точка максимума $(0, 1)$ переместится в точку $(-\frac{\pi}{3}, 1)$, а точка минимума $(\frac{\pi}{4}, -1)$ — в точку $(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3}, -1) = (-\frac{\pi}{12}, -1)$.

Ответ: График функции $y = \cos(4x + \frac{4\pi}{3})$ получается из графика $y = \cos(x)$ путем сжатия к оси Oy в 4 раза (период становится $\frac{\pi}{2}$) и последующего сдвига влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.