Задания, страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Докажите что абсцисса точки $B_{\alpha}$ пересечения прямой $OP_{\alpha}$ с касательной $t$ к единичной окружности, проведенной через точку $P_{\frac{\pi}{2}}$, равна $ctg\alpha$ (рис. 13.7).

Рис. 13.7

Для доказательства данного утверждения введем декартову систему координат с центром в начале координат $O(0,0)$.

Единичная окружность имеет центр в точке $O$ и радиус $R=1$. Точка $P_\alpha$ на этой окружности, соответствующая углу $\alpha$, имеет по определению координаты $(\cos\alpha, \sin\alpha)$.

Прямая $t$ является касательной к единичной окружности в точке $P_{\frac{\pi}{2}}$. Координаты точки $P_{\frac{\pi}{2}}$ равны $(0, 1)$. Касательная к окружности в этой точке перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (то есть оси $Oy$), и, следовательно, она горизонтальна и задается уравнением $y=1$. Эта прямая известна как «линия котангенсов».

Точка $B_\alpha$ — это точка пересечения прямой $OP_\alpha$ и касательной $t$. Обозначим абсциссу точки $B_\alpha$ как $x_0$. Поскольку точка $B_\alpha$ лежит на прямой $y=1$, ее ордината равна 1. Таким образом, координаты точки $B_\alpha$ — это $(x_0, 1)$.

Прямая $OP_\alpha$ проходит через начало координат $O(0,0)$ и точку $P_\alpha(\cos\alpha, \sin\alpha)$. Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y=kx$, где $k$ — ее угловой коэффициент. Для прямой $OP_\alpha$ угловой коэффициент равен отношению ординаты к абсциссе любой ее точки (кроме начала координат):

$k = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$

Таким образом, уравнение прямой $OP_\alpha$ имеет вид $y = x \cdot \tan\alpha$. Это уравнение справедливо для всех $\alpha$, при которых $\cos\alpha \neq 0$ (то есть прямая $OP_\alpha$ не вертикальна).

Поскольку точка $B_\alpha(x_0, 1)$ принадлежит прямой $OP_\alpha$, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой. Подставим координаты точки $B_\alpha$ в уравнение:

$1 = x_0 \cdot \tan\alpha$

Выразим $x_0$ из этого уравнения. Это возможно, если $\tan\alpha \neq 0$, то есть когда прямая $OP_\alpha$ не горизонтальна ($\sin\alpha \neq 0$).

$x_0 = \frac{1}{\tan\alpha}$

По основному тригонометрическому тождеству $\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}$. Следовательно, мы получаем:

$x_0 = \cot\alpha$

Таким образом, доказано, что абсцисса точки $B_\alpha$ пересечения прямой $OP_\alpha$ с линией котангенсов $y=1$ равна котангенсу угла $\alpha$.

Ответ: Утверждение доказано.